数学学习笔记

方程求解

  • 代数基本定理:任何一元 n(nN)n(n\in\N ^{*}) 次复系数多项式方程 f(x)=0f(x)=0 至少有一个复数根。

  • 一元一次方程

    ax+b=0(a0)    x=baax+b=0(a\neq 0) \implies x=-\frac{b}{a}

  • 一元二次方程

    ax2+bx+c=0(a0)ax^2+bx+c=0(a\neq0)

    ${\Delta=b^2-4ac} \begin{cases}
    \Delta<0,x=\frac{-b\pm\sqrt{-\Delta}i}{2a} \
    \Delta=0,x=-\frac{b}{2a} \
    \Delta>0,x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},\ 二者相距\ |\frac{\sqrt{\Delta}}{a}| \
    \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 顶点坐标\ (-\frac{b}{2a},\ -\frac{\Delta}{4a}),\ 两根相加 -\frac{b}{a},\ 两根相乘 \frac{c}{a} \
    \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 其与坐标轴围成的面积\ S=\frac{\Delta{1.5}}{6a2}
    \end{cases}
    $

  • 一元三次方程

    ax3+bx2+cx+d=0(a0)ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq0)

    1. 盛金公式

      重根判别式 {A=b23acB=bc9adC=c23bd\begin{cases} A=b^2-3ac \\ B=bc-9ad \\ C=c^2-3bd \end{cases}

      总判别式 Δ=B24AC\Delta=B^2-4AC

    • A=B=0A=B=0

      x1=x2=x3=b3a=cb=3dcx_1=x_2=x_3=\frac{-b}{3a}=\frac{-c}{b}=\frac{-3d}{c}

    • Δ>0\Delta>0

      Y1,2=Ab+3a(B±B24AC2), i2=1Y_{1,2}=Ab+3a(\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2}),\ i^2=-1

      x1=b(Y13+Y23)3a            x2,3=b+12(Y13+Y23)±32(Y13Y23)i3a\boxed{x_1=\frac{-b-(\sqrt[3]{Y_1}+\sqrt[3]{Y_2})}{3a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{2,3}=\frac{-b+\frac{1}{2}(\sqrt[3]{Y_1}+\sqrt[3]{Y_2})\pm\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt[3]{Y_1}-\sqrt[3]{Y_2})i}{3a}}

    • Δ=0(A0)\Delta=0(A\neq 0)

      x1=ba+BA            x2=x3=B2A\boxed{x_1=\frac{-b}{a}+\frac{B}{A}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=x_3=\frac{-B}{2A}}

    • Δ<0\Delta<0

      x1=b2Acosθ33a            x2,3=b+A(cosθ3±3sinθ3)3a\boxed{x_1=\frac{-b-2\sqrt{A}\cos\frac{\theta}{3}}{3a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{2,3}=\frac{-b+\sqrt{A}(\cos\frac{\theta}{3}\pm\sqrt{3}\sin\frac{\theta}{3})}{3a}}

      其中 θ=arccos2Ab3aB2A3 (A>0,1<T<1)\theta=\arccos \frac{2Ab-3aB}{2\sqrt{A^3}}\ (A>0,-1<T<1)

    1. 卡尔达诺公式

      先左右除以 aa,令 y=x+b3ay=x+\frac{b}{3a} 得到一个奇数次的方程 y3+3py+2q=0y^3+3py+2q=0,再令 y=u+vy=u+v 得到 u3+v3+(u+v)(3uv+3p)+2q=0u^3+v^3+(u+v)(3uv+3p)+2q=0

      瞪眼法可以知道 u3+v3=2q,uv=pu^3+v^3=-2q,uv=-p 的一个根,再解出 u,vu,v 即可

    {x1+x2+x3=bax1x2+x1x3+x2x3=cax1x2x3=da\begin{cases} x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a} \\ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} \end{cases}

  • 一元四次方程

    ax4+bx3+cx2+dx+e=0(a0)ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0(a\neq 0)

    {x1+x2+x3+x4=bax1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=cax1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=dax1x2x3x4=ea\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a} \\ x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{c}{a} \\ x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac{d}{a} \\ x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a} \end{cases}

  • 若将韦达定理推广到一元 nn 次方程 anxn+an1xn1++a1x+a0=0(an0)a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0 (a_n\neq 0),则方程的根可以表示为

    xk=1nj=1nωjajx_k = -\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} \omega^j a_j

    其中 ω\omegann 次单位根,即 ω=e2πin\omega = e^{\frac{2\pi i}{n}}

    根的和与系数的关系:x1+x2++xn=an1anx_1 + x_2 + \ldots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}

    根的积与系数的关系:x1x2xn=(1)na0anx_1x_2\dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}

  • 二元一次方程组

    {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}

    Δ=a1b2b1a2{Δ=0, 无解 或 无数组解Δ0, {x=c1b2b1c2Δy=a1c2c1a2Δ\Delta=a_1b_2-b_1a_2 \begin{cases} \Delta=0,\ \text{无解\ 或\ 无数组解} \\ \Delta\neq0,\ \begin{cases} x=\frac{c_1b_2-b_1c_2}{\Delta} \\ y=\frac{a_1c_2-c_1a_2}{\Delta} \end{cases} \end{cases}

不等式

  • 均值不等式链:$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}\leq\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}\leq\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\leq\sqrt{\frac{a_12+a_22+...+a_n^2}{n}} (a_i>0,b_i>0,i\in\N^+) $ 当且仅当 $ a_1=a_2=...=a_n$ 时等号成立( 调和 \leq 几何 \leq 算式 \leq 平方 )

  • 柯西不等式:$(a_12+a_22+...+a_n2)(b_12+b_22+...+b_n2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2 $ 当且仅当 $ \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}$ 时等号成立

例子

  • 例 1:已知 x>0,y>0,x+y=2x>0,y>0,x+y=2,求 2x+3y\frac{2}{x}+\frac{3}{y} 的最小值.

    2x+3y=(2x+3y)(x+y)2=5+2yx+3xy25+262\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=\frac{(\frac{2}{x}+\frac{3}{y})(x+y)}{2}=\frac{5+\frac{2y}{x}+\frac{3x}{y}}{2}\geq\frac{5+2\sqrt{6}}{2}

    注意 sin2α+cos2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

  • 例 2:已知 a>b>0a>b>0,求 a2+1ab+1a(ab)a^2+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)} 的最小值.

    a2+1ab+1a(ab)=a2ab+ab+1ab+1a(ab)a^2+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}=a^2-ab+ab+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}

    使用基本不等式化简,取等条件 a=2,b=32a=\sqrt{2},b=\frac{\sqrt{3}}{2}

  • 例 3:已知 a>0,b>0,c>0a>0,b>0,c>0,求证 ca+b+ab+c+bc+a32\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\geq\frac{3}{2}

    x=a+b,y=b+c,z=c+ax=a+b,y=b+c,z=c+a,则 a=(a+b+c)(b+c)=z+xy2a=(a+b+c)-(b+c)=\frac{z+x-y}{2}

    同理可得 b=x+yz2,c=y+zx2b=\frac{x+y-z}{2},c=\frac{y+z-x}{2},代入原式得左边 ==

    12(yx+xy+xz+zx+yz+zy)32\frac{1}{2}(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y})-\frac{3}{2}

    使用基本不等式化简,取等条件 x=y=zx=y=z,即 a=b=ca=b=c

  • 例 4:若实数 x,yx,y 满足 x2+y2+xy=1x^2+y^2+xy=1, 则 x+yx+y 的最大值是?

    使用判别式法 令 k=x+y,x=kyk=x+y, x=k-y 代入得

    y2ky+k21=0,Δ=k24(k21)0y^2-ky+k^2-1=0,\Delta=k^2-4(k^2-1)\geq 0

    233k233,x+y233-\frac{2\sqrt{3}}{3}\leq k\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}, x+y\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}

  • 例 5:已知正实数 yy 满足 xyyx=15x+4y\frac{xy}{y-x}=\frac{1}{5x+4y}, 则正实数 xx 的最大值是?

    由题得 4xy2+(5x21)y+x=0    y1y2=14>0,y1+y2=5x214x>04xy^2+(5x^2-1)y+x=0\implies y_1y_2=\frac{1}{4}>0, y_1+y_2=-\frac{5x^2-1}{4x}>0

    {5x21<0x>0{5x21>0x<0    0<x<55\therefore \begin{cases} 5x^2-1<0 \\ x>0 \end{cases} 或 \begin{cases} 5x^2-1>0 \\ x<0 \end{cases}\implies 0<x<\frac{\sqrt{5}}{5}

    Δ=(5x21)216x20    5x214x  5x214x\Delta=(5x^2-1)^2-16x^2\geq 0 \implies 5x^2-1\geq 4x\ 或 \ 5x^2-1\leq -4x

    解得 0<x150< x\leq \frac{1}{5}

  • 例 6:ΔABC\Delta ABC 中求 (Sa2+2bc)max(\frac{S}{a^2+2bc})_{\max}

    所求式中 a,b,ca,b,c 等价,故 a=b=ca=b=c 时取最值 312\frac{\sqrt{3}}{12}

函数单调性、奇偶性、对称性与周期性

复合函数单调性——同增异减

f(x)f(x) g(x)g(x) f(g(x))f(g(x))
\uparrow \uparrow \uparrow
\uparrow \downarrow \downarrow
\downarrow \uparrow \downarrow
\downarrow \downarrow \uparrow

奇偶性

  • 奇函数:对称中心 (0,0)(0,0),如 y=kx (k0)y=\frac{k}{x}\ (k\neq 0)

  • 偶函数:关于 x=0x=0 对称,如 y=x, y=x2y=|x|,\ y=x^2

  • 一个多项式函数为奇函数,当且仅当它只有奇数次幂,如 f(x)=2x7+5x5x3f(x)=2x^7+5x^5-x^3

  • 一个多项式函数为偶函数,当且仅当它只有偶数次幂,如 f(x)=x66x4+x2+9f(x)=x^6-6x^4+x^2+9

  • y=f(ax+b)+cy=f(ax+b)+c 是奇函数,则 f(x)f(x) 的对称中心 (b,c)(b,-c)

  • y=f(ax+b)+cy=f(ax+b)+c 是偶函数,则 f(x)f(x) 关于 x=bx=b 对称

  • 反函数:定义域和值域与原函数互换的新函数,如 f(x)=logaxf(x)=\log_ax 的反函数为 g(x)=axg(x)=a^x,反之亦然

    例:已知函数 f(x)=ax1+3(a>0  a1)f(x)=a^{x-1}+3(a>0\ 且 \ a\neq 1),则 f(x)f(x) 的的图像恒过定点 (1,4)    f(x)(1,4) \\ \implies f(x)反函数的图像恒过定点 (4,1)(4,1),即横坐标与纵坐标互换

    反函数的其他性质:原函数与其反函数关于直线 y=xy=x 对称

  • =|奇函数|=偶函数

  • 奇偶函数加减法则

Type1\text{Type1} Operator\text{Operator} Type2\text{Type2} Result\text{Result}
\text{奇} ±\pm \text{奇} \text{奇}
\text{偶} ±\pm \text{偶} \text{偶}
\text{奇} ×\times \text{奇} \text{偶}
\text{偶} ×\times \text{偶} \text{偶}
\text{奇} ×\times \text{偶} \text{奇}
  • 复合函数奇偶性(有偶则偶,同奇则奇)
f(x)f(x) g(x)g(x) f(g(x))f(g(x))

对称性

必记二级结论

  • f(a+x)=f(bx)     x=a+b2 f(a+x)=f(b-x) \implies 关于 \ x=\frac{a+b}{2}\ 对称

  • f(a+x)+f(bx)=c     (a+b2,c2)f(a+x)+f(b-x)=c \implies 对称中心 \ (\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})

  • 以下记 TT 为函数的周期, 记 CC 为某个常数( CRC\in\R

  • f(x+a)=f(x+b)    T=baf(x+a)=f(x+b) \implies T=|b-a|

  • f(x)+f(x+a)=C    T=2af(x)+f(x+a)=C \implies T=2a

  • f(x)×f(x+a)=C    T=2af(x)\times f(x+a)=C \implies T=2a

  • f(x+2a)=f(x+a)f(x)    T=6af(x+2a)=f(x+a)-f(x) \implies T=6a

  • f(x)  x=a, x=b     T=2(ba)f(x)\ 关于\ x=a,\ x=b\ 对称 \implies T=|2(b-a)|

  • f(x)  (a,0), (b,0)     T=2(ba)f(x)\ 的两个对称中心\ (a,0),\ (b,0)\ \implies T=|2(b-a)|

  • f(x)  x=a  (b,0)    T=4(ba)f(x)\ 关于\ x=a\ 对称且有个对称中心\ (b,0) \implies T=|4(b-a)|

拓展二级结论

  • 三次及以下的多项式函数具有一般对称性,四次及以上的多项式函数不具有一般对称性

    最高幂次为奇数的多项式函数只可能具有中心对称性,最高幂次为偶数的多项式函数只可能具有轴对称性

    如果一个多项式函数 f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0 具有中心对称性,那么它的对称中心 (an1nan,f(an1nan))(-\frac{a_{n-1}}{na_n},f(-\frac{a_{n-1}}{na_n}))

    如果一个多项式函数 f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0 具有轴对称性,那么它的对称轴 x=an1nanx=-\frac{a_{n-1}}{na_n}

  • f(x)=ax+bcx+df(x)=\frac{ax+b}{cx+d} 的对称中心 (dc,ac)(-\frac{d}{c},\frac{a}{c})

    注意到该函数的定义域为 \set{x|x\neq - \frac{d}{c}},值域是 \set{x|x\neq\frac{a}{c}}

    例:f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3f(x)=\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3} 的对称中心?

    首先我们知道,这三个式子的对称中心分别是 (1,1)(-1,1)(2,1)(-2,1)(3,1)(-3,1)

    如果这个函数有对称中心,其横坐标就在 1,2,3-1,-2,-3 中间即 2-2

    因为函数是三个式子相加,所以纵坐标就是三个纵坐标相加即 33

    所以函数的对称中心 (2,3)(-2,3)

  • f(x)=taxk+1f(x)=\frac{t}{a^{x-k}+1} 的对称中心 (k,f(k))(k,f(k))(k,t2)(k,\frac{t}{2})

  • f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d 的对称中心 (b3a,f(b3a))(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))

  • f(ax+b)f(|ax+b|) 关于 x=bax=-\frac{b}{a} 对称 且 f(ax+b)f(|ax+b|)x>bax>-\frac{b}{a} 时与 f(t)f(t) 的单调性相同

  • 任何一个函数 f(x)f(x) 都可以拆分为一个奇函数 F(x)=f(x)f(x)2F(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2} 与一个偶函数 G(x)=f(x)+f(x)2G(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} 之和

  • f(x+a)=mf(x)+bcf(x)m(a,b,cR,c0,m2+bc0)    T=2af(x+a)=\frac{mf(x)+b}{cf(x)-m}(a,b,c\in\R,c\neq 0,m^2+bc\neq 0) \implies T=2a

  • f(x+a)=1+f(x)1f(x)    T=4af(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)} \implies T=4a

幂、对数的基本计算

  • xa (a )={aZ+, a=0, xa=0aZ, xa=1xaOtherwise,  a=bc, xa=xbcx^a\ (a\ 为有理数)=\begin{cases} a\in\Z^+,\ 直接计算 \\ a=0,\ x^a=0 \\ a\in\Z^-,\ x^a=\frac{1}{x^{-a}} \\ \text{Otherwise} ,\ 令 \ a=\frac{b}{c}, \ x^a=\sqrt[c]{x^b} \\ \end{cases}

  • logab+logac=logabc\log_ab+\log_ac=\log_a bc

  • logablogac=logabc\log_ab-\log_ac=\log_a\frac{b}{c}

  • logab=logcalogcb\log_ab=\frac{\log_ca}{\log_cb}

  • bclogaN=logacNb\frac{b}{c}\log_aN=\log_{a^c}N^b

  • MlogaN=NlogaMM^{\log_aN}=N^{\log_aM}

  • algb=blgaa^{\lg b}=b^{\lg a}

例子

  • 例1:已知正实数 x,y,zx,y,z 满足 3x=5y=15z3^x=5^y=15^z,则 (BCD)

    A. $x+y=z\ \ \ \ \ \ \text{} $ B. xz+yz=xy      xz+yz=xy\ \ \ \ \ \ \text{} C. $\frac{x}{3}>\frac{y}{5}>\frac{z}{15}\ \ \ \ \ \ \text{} $ D. xy>4z2xy>4z^2

    3x=5y=15z=k3^x=5^y=15^z=k,则 x=log3kx=\log_{3}ky=log5ky=\log_{5}kz=log15kz=\log_{15}k

    k=100k=100 易证 A 选项不成立

    显然有 1x=logk3\frac{1}{x}=\log_{k}31y=logk5\frac{1}{y}=\log_{k}51z=logk15\frac{1}{z}=\log_{k}15

    1x+1y=1z\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z},两边同乘 xyzxyz 可证得 B 选项成立

    C 选项题意转化得 3x<5x<15x\frac{3}{x}<\frac{5}{x}<\frac{15}{x},易证其成立

    D 选项即证明 xy4z2=(lgk)2lg3lg54(lgk)2(lg15)2>0    (lg15)24lg3lg5=(lg3+lg5)24lg3lg5=(lg3lg5)2>0xy-4z^2=\frac{(\lg{k})^2}{\lg 3\lg 5}-\frac{4(\lg{k})^2}{(\lg{15})^2}>0 \implies (\lg{15})^2-4\lg{3}\lg{5}=(\lg 3+\lg 5)^2-4\lg{3}\lg{5}=(\lg 3-\lg 5)^2>0

  • 例2:设 a=log32,b=log53,c=log85a=\log_{3}2,b=\log_{5}3,c=\log_{8}5,比较大小:a<b<ca<b<c

    (a+b)24ab\because (a+b)^2\geq 4ab ab(a+b)24\therefore ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}

    bc=log53×log58(log53+log58)24<1    b<c\frac{b}{c}=\log_{5}3\times\log_{5}8\leq\frac{(\log_{5}3+\log_{5}8)^2}{4}<1\implies b<c

    log32=log383<log393=23,log53=log5273>log5253=23    a<b\log_{3}2=\log_{3}\sqrt[3]{8}<\log_{3}\sqrt[3]{9}=\frac{2}{3},\log_{5}3=\log_{5}\sqrt[3]{27}>\log_{5}\sqrt[3]{25}=\frac{2}{3}\implies a<b

复数

  • z=a+biz=a+b\text{i}      \ \ \ \ \ \text{} 模或绝对值 z=a+bi=a2+b2|z|=|a+b\text{i}|=\sqrt{a^2+b^2}      \ \ \ \ \ \text{} 共轭复数 |\={z}|=a-b\text{i}      \ \ \ \ \ \text{} 几何意义:复平面上点 (a,b)(a,b)

    注意实部为 aa,虚部为 bb (不带 i\text{i}     \ \ \ \ \ \text{} 注意当 a=0,b0a=0,b\neq 0 时为纯虚数,00 不是纯虚数

    所有虚数均不能直接比较大小,如 2+i>1+i\xcancel{2+\text{i}>1+\text{i}},当且仅当 b=0b=0 时可以比较

  • z1=a+bi, z2=c+diz_1=a+b\text{i},\ z_2=c+d\text{i}      \ \ \ \ \ \text{} z1±z2=(a±c)+(b±d)iz_1\pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)\text{i}      \ \ \ \ \ \text{} z1z2=acbd+(bc+ad)iz_1 z_2=ac-bd+(bc+ad)\text{i}      \ \ \ \ \ \text{} z1z2=ac+bd+(bcad)ic2+d2\frac{z_1}{z_2}=\frac{ac+bd+(bc-ad)\text{i}}{c^2+d^2}

    利用三角形三边关系:z1z2z1+z2z1+z2|z_1|-|z_2|\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|
    此公式适用于实数、复数、向量,当 a,ba,b 为向量时,利用 abab|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}|\leq|\mathbf{a}||\mathbf{b}| 可证明

  • (a±bi)2=a2b2±2abi,(a+bi)(abi)=a2+b2,(1±i)2=±2i(a\pm b\text{i})^2=a^2-b^2\pm 2ab\text{i},(a+b\text{i})(a-b\text{i})=a^2+b^2,(1\pm\text{i})^2=\pm 2\text{i}

    (12±3i2)3=1(-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}\text{i}}{2})^3=1

    1i=i,1i1+i=i,1+i1i=i\frac{1}{\text{i}}=-\text{i},\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=-\text{i},\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\text{i}

    nZ,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=1,i4n+3=in\in\Z,i^{4n}=1,i^{4n+1}=i,i^{4n+2}=-1,i^{4n+3}=-i

复数的三角表示

  • a+bi=r(cosθ+isinθ)a+b\text{i}=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)

    其中 r=a2+b2,tanθ=ba(a0)    a=rcosθ,b=rsinθr=\sqrt{a^2+b^2},\tan\theta=\frac{b}{a}(a\neq 0)\implies a=r\cos\theta,b=r\sin\theta

    规定在 0θ<2π0\leq\theta<2\piθ\theta 为辐角的主值,记为 argz\arg z,且满足 0argz<2π0\leq\arg z<2\pi

  • z1=a+bi=r1(cosθ1+isinθ1),z2=c+di=r2(cosθ2+isinθ2)z_1=a+b\text{i}=r_1(\cos\theta _1+\text{i}\sin\theta _1),z_2=c+d\text{i}=r_2(\cos\theta _2+\text{i}\sin\theta _2)

    z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z_1z_2=r_1r_2[\cos(\theta _1+\theta _2)+\text{i}\sin(\theta _1+\theta _2)]

    z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)](z20)\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta _1-\theta _2)+\text{i}\sin(\theta _1-\theta _2)](z_2\neq 0)

    z1z2zn=r1r2rn[cos(θ1+θ2++θn)+isin(θ1+θ2++θn)]z_1z_2\dots z_n=r_1r_2\dots r_n[\cos(\theta _1+\theta _2+\dots +\theta _n)+\text{i}\sin(\theta _1+\theta _2+\dots +\theta _n)]

  • 棣莫弗定理:对于 z=r(cosθ+isinθ),zn=rn(cosnθ+isinnθ),nNz=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta), z^n=r^n(\cos n\theta+\text{i}\sin n\theta),n\in\N ^{*}

复数与圆

  • z=r    z|z|=r\implies z 在复平面内对应点的集合是以原点为圆心,rr 为半径的圆

    zz1=r    z|z-z_1|=r\implies z 在复平面内对应点的集合是以 z1z_1 在复平面内的对应点为圆心,rr 为半径的圆

    zz1=zz2    z|z-z_1|=|z-z_2|\implies z 在复平面内对应点的集合是 Z1,Z2Z_1,Z_2 为端点的线段的中垂线

  • 设复数 z1,z2,z1+z2z_1,z_2,z_1+z_2 在复平面内对应点为 A,B,CA,B,C,结合平面向量的基本运算

    z1+z2=z1z2    |z_1+z_2|=|z_1-z_2|\implies 四边形 OACB\text{OACB}矩形

    z1=z2    |z_1|=|z_2|\implies 四边形 OACB\text{OACB}菱形

    z1=z2|z_1|=|z_2|z1+z2=z1z2    |z_1+z_2|=|z_1-z_2|\implies 四边形 OACB\text{OACB}正方形

  • 综合题:已知复数 z1,z2z_1,z_2 满足 z1=z2=1|z_1|=|z_2|=1,若 z1z2=z11=z2z|z_1-z_2|=|z_1-1|=|z_2-z|,则 z|z| 的最大值是?

    z=(z2z)z2z2z+z2=z11+1z1+1+1=3|z|=|(z_2-z)-z_2|\leq|z_2-z|+|z_2|=|z_1-1|+1\leq|z_1|+1+1=3,此时 z1=1,z2=1,z=3z_1=-1,z_2=1,z=3

单位根

定义:如果某个复数 zz 满足 zn=1(nN)z^n=1(n\in\N^*),那么这个复数 zz 被称为 nn 次单位根。若某 nn 次单位根的 00n1n-1 次方的值能生成所有 nn 次单位根,那么这个单位根称为本原单位根。

单位圆:在复平面上,以原点为圆心,11 为半径作圆,所得的圆称为单位圆。

对于给定的 nn,存在 nn 个不同的单位根,它们均匀分布在单位圆上,且满足 z=1|z|=1,连接它们可以形成一个正 nn 边形。且这些单位根可以表示为:( i2=1i^2=-1kk 是从 00n1n-1 的整数 )

[\large\omega^k_n = \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)=e^{i\frac{2k\pi}{n}} ]

上式利用欧拉公式 eix=cosx+isinxe^{ix}=\cos x+i\sin x 可证明。且显然 ωn=ei2πn=cos2πn+isin2πn\omega_n=e^{i\frac{2\pi}{n}}=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n} 为一个本原单位根。

nn zz argz=2kπn\arg z=\frac{2k\pi}{n}
11 11 00
22 1,11,-1 0,π0,\pi
33 1,1+3i2,13i21,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} 0,2π3,4π30,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}
44 1,i,1,i1,i,-1,-i 0,π2,π,3π20,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}
66 1,1+3i2,1+3i2,1,13i2,13i21,\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},-1,\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},\frac{1-\sqrt{3}i}{2} 0,π3,2π3,π,4π3,5π30,\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}

性质1:两个单位根相乘仍然是单位根,特别的,(ωnk)2=ωn2k(\omega_n^k)^2=\omega_n^{2k}

性质2:周期性,eiθ=ei(θ+2π)e^{i\theta} = e^{i(\theta+2\pi)}

性质3:ωn0=ωnn=1, ωnk=ω2n2k, ωnk+n2=ωnk\omega_n^0=\omega_n^n=1,\ \omega_n^k=\omega_{2n}^{2k},\ \omega_n^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_n^{k}

离散傅里叶变换 Discrete Fourier Transform ( DFT )

对于一个多项式 f(x)f(x),有系数表示法和点值表示法。

系数表示法

f(x)=i=0naixif(x)=\displaystyle\sum^{n}_{i=0}a_ix^i,例如 f(3)=x2+2x+3f(3)=x^2+2x+3

在多项式乘法中,第一个多项式中每个系数都需要与第二个多项式的每个系数相乘,所以利用这种方法计算多项式乘法的时间复杂度为 O(n2)O(n^2)

点值表示法

我们知道多项式 f(x)f(x)nn 个点 (x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n) 唯一确定。

其中 yi=j=0n1ajxijy_i=\displaystyle\sum^{n-1}_{j=0}a_jx_i^j,例如上面的例子用点值表示法可以有 (0,2),(1,5),(2,12)(0,2),(1,5),(2,12)

但是这种方法计算多项式乘法的时间复杂度仍为 O(n2)O(n^2)。( 选点 O(n)O(n),计算 O(n)O(n)

即将一个多项式从系数表示法改为点值表示法( 称为求值,即离散傅里叶变换 DFT )需要 O(n2)O(n^2) 的时间复杂度,而从点值表示法改为系数表示法( 称为插值,即离散傅里叶逆变换 IDFT )则需要 O(n3)O(n^3) 的时间复杂度做高斯消元。

考虑对其优化,就有了快速傅里叶变换。

快速傅里叶变换 Fast Fourier Transform ( FFT )

以下默认 nn22 的正整数次幂。

我们知道,一个多项式 f(x)f(x) 可以被 nn 个点唯一确定。那么我们可以把单位根的 00n1n-1 次幂代入求解这个多项式。

设多项式 f(x)=a0+a1x+a2x2++an1xn1f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}

将其下标按奇偶性分类得到 f(x)=(a0+a2x2+a4x4+an2xn2)+(a1x+a3x3+a5x5+an1xn1)f(x)=(a_0+a_2x^2+a_4x^4\dots+a_{n-2}x^{n-2})+(a_1x+a_3x^3+a_5x^5\dots+a_{n-1}x^{n-1})

g(x)=a0+a2x+a4x2++an2xn21,h(x)=a1x+a3x+a5x2++an1xn21g(x)=a_0+a_2x+a_4x^2+\dots+a_{n-2}x^{\frac{n}{2}-1},h(x)=a_1x+a_3x+a_5x^2+\dots+a_{n-1}x^{\frac{n}{2}-1}

不难得到 f(x)=g(x2)+xh(x2)f(x)=g(x^2)+xh(x^2)

x=ωnk(k<n2)x=\omega_n^k(k<\frac{n}{2}) 代入得 f(ωnk)=g(ωn2k)+ωnkh(ωn2k)=g(ωn2k)+ωnkh(ωn2k)f(\omega_n^k)=g(\omega_n^{2k})+\omega_n^kh(\omega_n^{2k})=g(\omega_\frac{n}{2}^k)+\omega_n^kh(\omega_\frac{n}{2}^k)

同理,将 x=ωnk+n2x=\omega_n^{k+\frac{n}{2}} 代入得 f(ωnk+n2)=g(ωn2k+n)+ωnk+n2h(ωn2k+n)=g(ωn2kωnn)ωnkh(ωn2kωnn)=g(ωn2k)ωnkh(ωn2k)=g(ωn2k)ωnkh(ωn2k)f(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=g(\omega_n^{2k+n})+\omega_n^{k+\frac{n}{2}}h(\omega_n^{2k+n})=g(\omega_n^{2k}\cdot\omega_n^n)-\omega_n^kh(\omega_n^{2k}\cdot\omega_n^n)=g(\omega_n^{2k})-\omega_n^kh(\omega_n^{2k})=g(\omega_\frac{n}{2}^k)-\omega_n^kh(\omega_\frac{n}{2}^k)

整理得 {f(ωnk)=g(ωn2k)+ωnkh(ωn2k)f(ωnk+n2)=g(ωn2k)ωnkh(ωn2k)\begin{cases} f(\omega_n^k)=g(\omega_\frac{n}{2}^k)+\omega_n^kh(\omega_\frac{n}{2}^k) \\ f(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=g(\omega_\frac{n}{2}^k)-\omega_n^kh(\omega_\frac{n}{2}^k) \end{cases} 显然,这两个式子只有一个常数项不同。

所以在枚举第一个式子时,可顺便算出第二个式子。又因为第一个式子得 kk 取遍 [0,n21][0,\frac{n}{2}-1] 时,k+n2k+\frac{n}{2} 取遍 [n2,n1][\frac{n}{2},n-1]

所以只要求出 g(x)g(x)h(x)h(x) 在小于 n2\frac{n}{2} 时的点值,就可以线性求出 f(x)f(x) 在整个 nn 次幂处的点值。而求 g(x)g(x)h(x)h(x) 在小于 n2\frac{n}{2} 时的点值也是可以递归求解的。

考虑时间复杂度,递推关系 T(n)=2T(n2)+O(n)T(n)=2T(\frac{n}{2})+O(n),利用主定理得到总的时间复杂度 O(nlogn)O(n\log n)

离散傅里叶逆变换 Inverse Discrete Fourier Transform ( IDFT )

将一个多项式 f(x)f(x) 从点值表示法改为系数表示法。

我们目前知道一个 (n1)(n-1) 次多项式 f(x)=i=0n1aixif(x)=\displaystyle\sum^{n-1}_{i=0}a_ix^i 进行了 DFT 的点值 \set{b_i},即 bk=i=0n1aiωnikb_k=\displaystyle\sum^{n-1}_{i=0}a_i\omega_n^{ik}

现在试图系数数列 \set{a_i},先给出结论 ak=1ni=0n1biωika_k=\frac{1}{n}\displaystyle\sum^{n-1}_{i=0}b_i\omega^{-ik}

证明:将 bkb_k 代入 aka_k 的式子得 ak=1ni=0n1j=0n1ajωnjiωik=1ni=0n1j=0n1ajωni(jk)=1nj=0n1aj×i=0n1ωni(jk)a_k=\frac{1}{n}\displaystyle\sum^{n-1}_{i=0}\displaystyle\sum^{n-1}_{j=0}a_j\omega_n^{ji}\omega^{-ik}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum^{n-1}_{i=0}\displaystyle\sum^{n-1}_{j=0}a_j\omega_n^{i(j-k)}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum^{n-1}_{j=0}a_j\times\displaystyle\sum^{n-1}_{i=0}\omega_n^{i(j-k)}

考虑分类讨论。

  1. j=k    i=0n1ωni(jk)=n×ωn0=nj=k\implies\displaystyle\sum^{n-1}_{i=0}\omega_n^{i(j-k)}=n\times\omega_n^0=n

  2. jk    jk<n,ωnjk1j\neq k \implies |j-k|<n,\omega_n^{j-k}\neq 1,则 i=0n1ωni(jk)\displaystyle\sum^{n-1}_{i=0}\omega_n^{i(j-k)} 是一个公比不为 11 的等比数列前缀和,根据等比数列求和公式 Sn=a1(1qn)1q=a1anq1q(q1)S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_n q}{1-q}(q\neq 1)

    i=0n1ωni(jk)=1ωn(n1)(jk)×ωnjk1ωnjk=1ωnn(jk)1ωnjk=1(ωnjk)n1ωnjk=1(ωnjk)01ωnjk=111ωnjk=0\displaystyle\sum^{n-1}_{i=0}\omega_n^{i(j-k)}=\frac{1-\omega_n^{(n-1)(j-k)}\times\omega_n^{j-k}}{1-\omega_n^{j-k}}=\frac{1-\omega_n^{n(j-k)}}{1-\omega_n^{j-k}}=\frac{1-(\omega_n^{j-k})^n}{1-\omega_n^{j-k}}=\frac{1-(\omega_n^{j-k})^0}{1-\omega_n^{j-k}}=\frac{1-1}{1-\omega_n^{j-k}}=0

综上,1nj=0n1aj×i=0n1ωni(jk)=1nj=0n1aj×[j=k]×n=ak\frac{1}{n}\displaystyle\sum^{n-1}_{j=0}a_j\times\displaystyle\sum^{n-1}_{i=0}\omega_n^{i(j-k)}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum^{n-1}_{j=0}a_j\times[j=k]\times n=a_k,原命题成立。

快速傅里叶逆变换 Inverse Fast Fourier Transform ( IFFT )

经过上面的推导,我们知道 ak=1ni=0n1biωika_k=\frac{1}{n}\displaystyle\sum^{n-1}_{i=0}b_i\omega^{-ik},设 B(x)=i=0n1bixiB(x)=\displaystyle\sum^{n-1}_{i=0}b_ix^i,问题变为如何算 B(x)B(x)ωnki\omega_n^{-ki},其中 0k<n0\leq k<n 的点值。

因为 ωnk=ωnk+n\omega_n^{-k}=\omega_n^{k+n},所以只需用 FFT 的方法,求出 B(x)B(x)ωn\omega_n 各个幂次下的值,反转数组,令 ak=1ni=0nB(ωnnk)a_k=\frac{1}{n}\displaystyle\sum^{n}_{i=0}B(\omega_n^{n-k}) 即可。

三角恒等变换

诱导公式

sin(α+2kπ)=sinα,kZcos(α+2kπ)=cosα,kZtan(α+2kπ)=tanα,kZ\begin{aligned}\sin(\alpha + 2k\pi)&=\sin\alpha,k \in \Z \\ \cos(\alpha + 2k\pi)&=\cos\alpha,k \in \Z \\ \tan(\alpha + 2k\pi)&=\tan\alpha,k \in \Z\end{aligned} sin(π+α)=sinαcos(π+α)=cosαtan(π+α)=tanα\begin{aligned}\sin(\pi+\alpha)&=-\sin\alpha \\ \cos(\pi+\alpha)&=-\cos\alpha \\ \tan(\pi+\alpha)&=\tan\alpha\end{aligned} sin(α)=sinαcos(α)=cosαtan(α)=tanα\begin{aligned}\sin(-\alpha)&=-\sin\alpha \\ \cos(-\alpha)&=\cos\alpha \\ \tan(-\alpha)&=-\tan\alpha\end{aligned}
sin(πα)=sinαcos(πα)=cosαtan(πα)=tanα\begin{aligned}\sin(\pi-\alpha)&=\sin\alpha \\ \cos(\pi-\alpha)&=-\cos\alpha \\ \tan(\pi-\alpha)&=-\tan\alpha\end{aligned} sin(π2α)=cosαcos(π2α)=sinαsin(π2+α)=cosαcos(π2+α)=sinαtan(π2α)=cotαcot(π2α)=tanαsec(π2α)=cscαcsc(π2α)=secα\begin{aligned}\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)&=\cos\alpha \\ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)&=\sin\alpha \\ \sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)&=\cos\alpha \\ \cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)&=-\sin\alpha \\ \tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)&=\cot \alpha \\ \cot(\frac{\pi}{2}-\alpha)&=\tan \alpha \\ \sec(\frac{\pi}{2}-\alpha)&=\csc\alpha \\ \csc(\frac{\pi}{2}-\alpha)&=\sec\alpha\end{aligned} sin(3π2+α)=cosαcos(3π2+α)=sinαsin(3π2α)=cosαcos(3π2α)=sinα\begin{aligned}\sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha)&=-\cos\alpha \\ \cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)&=\sin\alpha \\ \sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha)&=-\cos\alpha \\ \cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)&=-\sin\alpha\end{aligned}
  • 毕达哥拉斯定理:sin2α+cos2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,两边同除 sin2x\sin^2xcos2x\cos^2x 可得 1+tan2x=sec2x,1+cot2x=csc2x1+\tan^2x=\sec^2x,1+\cot^2x=\csc^2x

  • tanα=sinαcosα,cotx=1tanx,secx=1cosx,cscx=1sinx\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\cot x=\frac{1}{\tan x},\sec x=\frac{1}{\cos x},\csc x=\frac{1}{\sin x}

  • 奇函数:sin,tan,cot,csc    \sin,\tan,\cot,\csc\ \ \ \ \text{} 偶函数:cos,sec\cos,\sec

简单的三角恒等变换

cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha \cos\beta+\sin\alpha \sin\beta \\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta cos2α=cos2αsin2α=12sin2α=2cos2α1=(cosα+sinα)(cosαsinα)\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\\=(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha) cosa2=±1+cosα2\cos\frac a 2=\pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}
sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha \cos\beta-\cos\alpha \sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta sin2α=2sinαcosα\sin 2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha sina2=±1cosα2\sin\frac a 2=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}
tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβtan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta} \\ \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta} tan2α=2tanα1tan2α\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} tana2=±1cosα1+cosα=sinα1+cosα=1cosαsinα\tan\frac a 2=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\\ =\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}
sin3α=3sinα4sin3αcos3α=4cos3α3cosαtan3α=3tanαtan3α13tan2α\begin{aligned}\sin 3\alpha&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha \\ \cos 3\alpha&=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \\ \tan 3\alpha&=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}\end{aligned} sinα+sinβ=2sinα+β2cosαβ2sinαsinβ=2cosα+β2sinαβ2cosα+cosβ=2cosα+β2cosαβ2cosαcosβ=2sinα+β2sinαβ2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} sinα=2tanα21+tan2a2=sin2α2cosαcosα=1tan2a21+tan2a2=sin2α2sinαtanα=2tanα21tan2a2=(1tan2α)tan2α2\sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{a}{2}}=\frac{\sin2\alpha}{2\cos\alpha} \\ \cos\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{a}{2}}{1+\tan^2\frac{a}{2}}=\frac{\sin2\alpha}{2\sin\alpha} \\ \tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{a}{2}}\\=\frac{(1-\tan^2\alpha)\tan2\alpha}{2}
  • Asinα+Bcosα=A2+B2sin(α+φ)A\sin\alpha+B\cos\alpha=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\alpha+\varphi) , 其中 tanφ=BA\tan\varphi={B\over A}tanφ<0\tan\varphi<0 时,需检验 φ\varphi 位于第二象限还是第四象限

  • sin(α+β)sin(αβ)=sin2αsin2β\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta

  • cos(α+β)cos(αβ)=cos2αsin2β\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta

  • 1+cosα=2cos2a21+\cos\alpha=2\cos^2\frac{a}{2}1cosα=2sin2a21-\cos\alpha=2\sin^2\frac{a}{2}

  • tan2αsin2α=tan2αsin2α\tan^2\alpha\sin^2\alpha=\tan^2\alpha-\sin^2\alpha

  • 对于任意非直角三角形中,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C

    经典值:tanA=1, tanB=2, tanC=3\tan A=1,\ \tan B=2,\ \tan C=3, 此时 A=45°, B=63.43°, C=71.57°A=45\degree,\ B=63.43\degree,\ C=71.57\degree

  • 其他三角形恒等式( ΔABC\Delta ABC 中 ):{sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2cosA+cosB+cosC=1+4sinA2sinB2sinC2cotA+cotB+cotC=4cotA2cotB2cotC2sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosCcos2A+cos2B+cos2C=12cosAcosBcosCsin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCcos2A+cos2B+cos2C=14cosAcosBcosCtanA2tanB2+tanB2tanC2+tanA2tanC2=1\begin{cases} \sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} \\ \cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \\ \cot A+\cot B+\cot C=4\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2} \\ \sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C=2+2\cos A\cos B\cos C \\ \cos^2A+ \cos^2B+\cos^2C=1-2\cos A\cos B\cos C \\ \sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C \\ \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=-1-4\cos A\cos B\cos C\\ \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{A}{2}\tan\frac{C}{2}=1 \end{cases}

  • 若已知 tanα=k,\tan \alpha=k, 则有 asinα+bcosαmsinα+ncosα=ak+bmk+n\frac{a\sin\alpha+b\cos\alpha}{m\sin\alpha+n\cos\alpha}=\frac{ak+b}{mk+n}

  • 1tanα1tan2α=12tan2α\frac{1-\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{1}{2}\tan 2\alpha1tanα1+tan2α=12sin2α\frac{1-\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{1}{2}\sin 2\alpha

  • 对于 x(0,π2), sinx<x<tanxx\in (0,\frac{\pi}{2}),\ \sin x<x<\tan x

三角函数的平移

  • y=Asin(ωx+φ)+h  y=Acos(ωx+φ)+h    T=2πωy=A\sin(\omega x+\varphi)+h\ 或\ y=A\cos(\omega x+\varphi)+h \implies T=\frac{2\pi}{|\omega|}

    三角函数的应用:振幅 AA 周期 T=2πωT=\frac{2\pi}{\omega} 频率 f=1T=ω2πf=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} 相位 ωx+φ\omega x+\varphi 初相 φ\varphi

  • y=Atan(ωx+φ)+h    T=πωy=A\tan(\omega x+\varphi)+h\implies T=\frac{\pi}{|\omega|}

  • 三角函数里图像的平移都是针对单个 xx 进行 左加右减

    例:y=3sin(2x+π3)+1y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1 向左平移 π4\frac{\pi}{4} 个单位长度,再将图像上所有点的横坐标缩短为原来的 12\frac{1}{2}

    y=3sin(2x+π3)+1    y=3sin[2(x+π6)]+1y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1 \implies y=3\sin[2(x+\frac{\pi}{6})]+1

    第一步转移变成 y=3sin[2(x+π6+π4)]+1    y=3sin(2x+5π6)+1y=3\sin[2(x+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4})]+1 \implies y=3\sin(2x+\frac{5\pi}{6})+1

    第二步转移变成 y=3sin(4x+5π6)+1y=3\sin(4x+\frac{5\pi}{6})+1

三角不等式

α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 为同一个三角形的内角,则有下列不等式:( 取等条件均为 α=β=γ=π3\alpha=\beta=\gamma = \frac{\pi}{3}

sinα+sinβ+sinγ332cosα+cosβ+cosγ32sinαsinβsinγ338cosαcosβcosγ18\begin{aligned}\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma&\leq\frac{3\sqrt{3}}{2} \\ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma&\leq\frac{3}{2} \\ \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma&\leq\frac{3\sqrt{3}}{8} \\ \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma&\leq\frac{1}{8}\end{aligned} sin2α+sin2β+sin2γ94cos2α+cos2β+cos2γ34tanα+tanβ+tanγ33 (  )cotα+cotβ+cotγ3\begin{aligned}\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma&\leq\frac{9}{4} \\ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma&\geq\frac{3}{4} \\ \tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma&\geq 3\sqrt{3}\ (\ 锐角三角形\ ) \\ \cot\alpha+\cot\beta+\cot\gamma&\geq\sqrt{3}\end{aligned}
sinα2+sinβ2+sinγ232cosα2+cosβ2+cosγ2332sinα2sinβ2sinγ218cosα2cosβ2cosγ2338\begin{aligned}\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}&\leq\frac{3}{2} \\ \cos\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\beta}{2}+\cos\frac{\gamma}{2}&\leq\frac{3\sqrt{3}}{2} \\ \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}&\leq\frac{1}{8} \\ \cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}&\leq\frac{3\sqrt{3}}{8}\end{aligned} sin2α2+sin2β2+sin2γ234cos2α2+cos2β2+cos2γ294tanα2+tanβ2+tanγ23cotα2+cotβ2+cotγ233\begin{aligned}\sin^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\beta}{2}+\sin^2\frac{\gamma}{2}&\geq\frac{3}{4} \\ \cos^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\beta}{2}+\cos^2\frac{\gamma}{2}&\leq\frac{9}{4} \\ \tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}+\tan\frac{\gamma}{2}&\geq\sqrt{3} \\ \cot\frac{\alpha}{2}+\cot\frac{\beta}{2}+\cot\frac{\gamma}{2}&\geq 3\sqrt{3}\end{aligned}

平面向量

定义及基本运算

  • 我们把既有大小又有方向的量称为向量,把只有大小没有方向的量称为数量。向量用有向线段 AB\overrightarrow{AB} 表示( 但向量 \neq 有向线段 ),它的长度/模记作 AB|\overrightarrow{AB}|
    长度等于 11 个单位长度的向量,称为单位向量,一般用 e\mathbf{e} 表示。长度等于 00 个单位长度的向量,称为零向量,用 0\mathbf{0} 表示,它的方向是任意的。坐标轴不能说是向量( 没有长度 )。

  • 平行向量 / 共线向量:方向 相同 或 相反 的非零向量叫做平行向量。零向量与任何向量平行。所以 a//b,b//c      a//c\mathbf{a}//\mathbf{b},\mathbf{b}//\mathbf{c}\ \xcancel{\implies}\ \mathbf{a}//\mathbf{c}

    向量 a(a0)\mathbf{a}(\mathbf{a}\neq\mathbf{0})b\mathbf{b} 共线 \Longleftrightarrow 存在唯一一个实数 λ\lambda 使 b=λa\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}

  • 相等向量:长度相等 且 方向相同的两个向量。相反向量:长度相等 且 方向相反的两个向量。

  • 投影向量:设 AB=a,CD=b\overrightarrow{AB}=\mathbf{a},\overrightarrow{CD}=\mathbf{b},过 AB\overrightarrow{AB} 的起点 AA 和终点 BB,分别作 CD\overrightarrow{CD} 所在直线的垂线,垂足分别为 A1,B1A_1,B_1 并得到 A1B1\overrightarrow{A_1B_1},称上述变换为向量 a\mathbf{a} 向向量 b\mathbf{b} 投影,A1B1\overrightarrow{A_1B_1} 叫做向量 a\mathbf{a} 在向量 b\mathbf{b} 上的投影向量。

  • 两个向量之间的夹角可用 θ=a,b\theta=\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle 表示,注意两个向量此时必须共顶点。

θ\theta 00 π\pi π2\frac{\pi}{2}
a\mathbf{a}b\mathbf{b} 的关系 a\mathbf{a}b\mathbf{b} 同向 a\mathbf{a}b\mathbf{b} 反向 a\mathbf{a}b\mathbf{b} 垂直 记作 ab\mathbf{a}\perp\mathbf{b}
运算符 运算法则 性质
++ 平行四边形法则
- 转化为相反向量后用平行四边形法则 AB=BA-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}
数乘 实数 λ\lambda 与向量 a\mathbf{a} 的积仍是向量,记作 λa\lambda\mathbf{a} λa=λa\| \lambda\mathbf{a} \| = \| \lambda \| \| \mathbf{a} \|,满足交换律,结合律
点乘 \cdot \\ ( 内积/数量积 ) ab=abcosθ,θ=a,b\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta,\theta=\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle abab=0,abab\mathbf{a}\perp\mathbf{b}\Longleftrightarrow\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0,\|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\|\leq\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|,满足交换律,不满足结合律,不能约分\\(ab)ca(bc)(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}\neq\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}),但 (a+b)c=ac+bc(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}
叉乘 ×\times \\ ( 外积/向量积 ) a×b=c\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c},其中 c=absinθ,θ=a,b\\ \|\mathbf{c}\|=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta,\theta=\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle

向量的 +,,+,-, 数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍为向量。点乘运算叫做 a\mathbf{a}b\mathbf{b} 的数量积/内积,结果为数量。

定理及二级结论

  • 平面向量基本定理:若 e1,e2\mathbf{e_1,e_2} 是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任意向量 a\mathbf{a},有且只有一对实数 λ1,λ2\lambda _1,\lambda _2,使得 a=λ1e1+λ2e2\mathbf{a}=\lambda _1\mathbf{e_1}+\lambda _2\mathbf{e_2}

    e1,e2\mathbf{e_1,e_2} 不共线,我们把 \set{\mathbf{e_1,e_2}} 叫做这一平面内所有向量的一个 基底;任一向量都可以由同一个基底唯一表示。

  • 定比分点公式:已知点 DD 为线段 BCBC 靠近点 BB 的第 kknn 等分点     AD=knAC+nknAB\implies \overrightarrow{AD}=\frac{k}{n}\overrightarrow{AC}+\frac{n-k}{n}\overrightarrow{AB},其中 AA 为平面内任取的一点。

    已知 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),P(x,y),若 AP=λPB\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB},则 x=x1+λx21+λ,y=y1+λy21+λx=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}

  • aba±ba+b||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}||\leq|\mathbf{a}\pm\mathbf{b}|\leq|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|,应用不等式时,必须验证 等号成立的条件

  • a=b=ab    |\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|\implies 正三角形         \ \ \ \ \ \ \ \ \text{} a+b=ab    |\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|\implies 矩形

    a=b    |\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|\implies 菱形         \ \ \ \ \ \ \ \ \text{} a+b=ab|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|a=b    |\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|\implies 正方形

  • 正弦定理:asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC=2R=D\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=2R=D,其中 RR 为三角形外接圆半径。

    变形:要证 (a+b)(sinAsinB)=(cb)sinC(a+b)(\sin A-\sin B)=(c-b)\sin C,可转化为 (a+b)(ab)=(cb)c    b2+c2a2=bc    cosA=b2+c2a22bc=12(a+b)(a-b)=(c-b)c\implies b^2+c^2-a^2=bc\implies\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}

    注意 sinC=sin(π(A+B))=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB\sin C=\sin(\pi-(A+B))=\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B

  • 余弦定理:{a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC    {cosA=b2+c2a22bccosB=c2+a2b22accosC=a2+b2c22ab\begin{cases} a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B \\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \end{cases}\implies\begin{cases} \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac} \\ \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{cases}

  • 正切定理:a+bab=tana+b2tanab2\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\frac{a+b}{2}}{\tan\frac{a-b}{2}}

  • 任意三角形射影定理( 将 cos\cos 展开即可证明 ):{a=bcosC+ccosBb=acosC+ccosAc=acosB+bcosA\begin{cases} a=b\cos C+c\cos B \\ b=a\cos C+c\cos A \\ c=a\cos B+b\cos A \end{cases}

  • 极化恒等式:ab=(a+b2)2(ab2)2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=(\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2})^2-(\frac{\mathbf{a}-\mathbf{b}}{2})^2

    对于平行四边形 ABCDABCD,满足 AC2+BD2=2(AB2+AD2),ABAD=14(AC2BD2)AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2),\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AC}^2-\overrightarrow{BD}^2)

    对于三角形 ABCABCMMBCBC 中点,ABAC=AM214BC2=AM2BM2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}^2-\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}^2=\overrightarrow{AM}^2-\overrightarrow{BM}^2

  • 对任意四边形 ABCDABCD,若两对角线相垂直,则 S=12ACBDS=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|

  • 中线长定理:对于三角形 ABCABCADADBCBC 边上的中线,则有 AB2+AC2=2(AD2+BD2)ABAC=AD2BD2AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)\\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AD}|^2-|\overrightarrow{BD}|^2

  • 张角定理:ΔABC,D\Delta ABC,DBCBC 上,令 BAD=α,CAD=β\angle BAD=\alpha,\angle CAD=\beta,则有 sinαAC+sinβAB=sin(α+β)AD\frac{\sin\alpha}{AC}+\frac{\sin\beta}{AB}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{AD}

  • 奔驰定理:点 OOΔABC\Delta ABC 所在平面内不与 A,B,CA,B,C 重合的一点,若 xOA+yOB+zOC=0,xyz0x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=\mathbf{0},xyz\neq 0,则 SΔOBCOA+SΔOACOB+SΔOABOC=0S_{\Delta OBC}\overrightarrow{OA}+S_{\Delta OAC}\overrightarrow{OB}+S_{\Delta OAB}\overrightarrow{OC}=\mathbf{0},且 SΔOBC:SΔOAC:SΔOAB=x:y:zS_{\Delta OBC}:S_{\Delta OAC}:S_{\Delta OAB}=x:y:z

    证明:xOA+yOB+zOC=0    xyOA+OB+zyOC=0x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=\mathbf{0} \implies \frac{x}{y}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\frac{z}{y}\overrightarrow{OC}=\mathbf{0}

    OAOA 延长到 OEOE 满足 OE=xyOAOE=\frac{x}{y}OAOCOC 延长到 OFOF 满足 OF=zyOCOF=\frac{z}{y}OC,变为 OE+OB+OF=0\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OF}=\mathbf{0}

    OOΔEBF\Delta EBF 重心,于是有 SΔOBE=SΔOEF=SΔOBFS_{\Delta OBE}=S_{\Delta OEF}=S_{\Delta OBF}SΔAOCSΔEOF=12OAOCsinAOC12OEOFsinEOF=yxyz=y2xz\frac{S_{\Delta AOC}}{S_{\Delta EOF}}=\frac{\frac{1}{2}OA\cdot OC\cdot \sin\angle AOC}{\frac{1}{2}OE\cdot OF\cdot\sin\angle EOF}=\frac{y}{x}\cdot\frac{y}{z}=\frac{y^2}{xz}

    同理根据相似 SΔAOC:SΔAOB:SΔBOC=y2xz:yzxz:xyxz=y:z:xS_{\Delta AOC}:S_{\Delta AOB}:S_{\Delta BOC}=\frac{y^2}{xz}:\frac{yz}{xz}:\frac{xy}{xz}=y:z:x

例题:ΔABC\Delta ABC 中,DDBCBC 中点,BE=2EABE=2EAADADCECE 交于 OOABAC=6AOEC,ABAC=( 3 )\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{EC},\frac{AB}{AC}=(\ \sqrt{3}\ \text{})

方法一:AO=λAD=λ2(AB+AC)=(1μ)AE+μAC=1μ3AB+μAC\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AD}=\frac{\lambda}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=(1-\mu)\overrightarrow{AE}+\mu\overrightarrow{AC}=\frac{1-\mu}{3}\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}

解方程得 λ=12,μ=14\lambda=\frac{1}{2},\mu=\frac{1}{4}AO=14AB+AC,EC=13AB+AC\overrightarrow{AO}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},\overrightarrow{EC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}

代入题目,12AB2=32AC2,ABAC=3\frac{1}{2}AB^2=\frac{3}{2}AC^2,\frac{AB}{AC}=\sqrt{3}

方法二:作 ABAB 另一个三等分点 FF,连接 DFDF 构造中位线

平面向量的坐标表示

  • 在平面直角坐标系中,设与 xx 轴,yy 轴方向相同的两个单位向量分别为 i,j\mathbf{i},\mathbf{j},取 \set{\mathbf{i},\mathbf{j}} 作为基底,对于平面内任意一个向量 a\mathbf{a},有且只有一对实数 x,yx,y,使得 a=xi+yj,(x,y)\mathbf{a}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j},(x,y) 就是 a\mathbf{a} 的坐标,记作 a=(x,y)\mathbf{a}=(x,y)

    显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0)\mathbf{i}=(1,0),\mathbf{j}=(0,1),\mathbf{0}=(0,0)OA=xi+yjA\overrightarrow{OA}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j} \Longleftrightarrow A 的坐标 (x,y)(x,y)

    若表示向量 a\mathbf{a} 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2)(x_1,y_1),(x_2,y_2),则 a=(x2x1,y2y1)\mathbf{a}=(x_2-x_1,y_2-y_1)

  • a=(x1,y1),b=(x2,y2)\mathbf{a}=(x_1,y_1),\mathbf{b}=(x_2,y_2),则有 a±b=(x1±x2,y1±y2),ab=x1x2+y1y2\mathbf{a}\pm\mathbf{b}=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2),\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=x_1x_2+y_1y_2

    λa=(λx1,λy1),a=x12+y12\lambda\mathbf{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1),|\mathbf{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}

    向量 a,b\mathbf{a},\mathbf{b} 共线 x1y2=x2y1\Longleftrightarrow x_1y_2=x_2y_1;向量 abx1y2=x2y1\mathbf{a}\perp\mathbf{b} \Longleftrightarrow x_1y_2=x_2y_1

    θ=a,b    cosθ=abab=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22    \theta=\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle\implies\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\implies 柯西不等式的二元形式

笛卡尔斜坐标系

xx 轴与 yy 轴的角度为 θ (θπ2)\theta\ (\theta\neq\frac{\pi}{2}) 的坐标系。定义平面直角坐标系中的点 P(x,y)P(x,y),将 PP 转移到斜坐标系中变成 P(x,y)P'(x',y') 满足

[\begin{cases}x'=x+y\cos\theta \ y'=y\sin\theta\end{cases}\ 和\ \begin{cases}x=x'-\frac{y'}{\tan\theta} \ y=\frac{y'}{\sin\theta}\end{cases}]

于是我们可以把平面向量在平面直角坐标系中的一些运算迁移到斜坐标系中

  • 数量积:(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)cosθ(x_1',y_1')\cdot(x_2',y_2')=x_1x_2+y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)\cos\theta

  • 模长:a=(x,y),a=x2+y2+2xycosθ\mathbf{a}=(x',y'),|\mathbf{a}|=\sqrt{x^2+y^2+2xy\cos\theta}

  • 夹角:a=(x1,y1),b=(x2,y2),cosγ=abab\mathbf{a}=(x_1',y_1'),\mathbf{b}=(x_2',y_2'),\cos\gamma=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}

例题:ΔABC\Delta ABC 中,D,ED,EBCBC 上的两个三等分点,ABAD=2ACAE\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AE},则 cosADE\cos\angle ADE 的最小值为( 47\frac{4}{7}

DC,DA\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA} 的方向作为平面 ABCABC 斜坐标系中 x,yx',y' 轴的正方向,并设 DA=m,DC=2|\overrightarrow{DA}|=m,|\overrightarrow{DC}|=2,可得 A(0,m),B(1,0),C(2,0),D(0,0),E(1,0)A(0,m),B(-1,0),C(2,0),D(0,0),E(1,0)

于是 ABAD=(1,m)(0,m)=m2+mcosADE\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(-1,-m)\cdot(0,-m)=m^2+m\cos\angle ADE,ACAE=(2,m)(1,m)=2+m23mcosADE\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AE}=(2,-m)\cdot(1,-m)=2+m^2-3m\cos\angle ADE

根据题意整理得 cosADE=17(m+4m)47\cos\angle ADE=\frac{1}{7}(m+\frac{4}{m})\geq\frac{4}{7}

三角形

三角形四心

以下记连接顶点和各交点的直线延长至顶点对边为 AD,BE,CFAD,BE,CF,设 ΔABC\Delta ABC 的外接圆半径为 RRKK 为平面内任意一点,λ,μ,ηR+\lambda,\mu,\eta\in\R^+

ΔABC\Delta ABC 重心 GG 垂心 HH
交点 中线
基本性质 GA+GB+GC=0AG=13(AB+AC)\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) HAHB=HBHC=HCHAAHHD=BHHE=CHCF\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{HA}\\AH\cdot HD=BH\cdot HE=CH\cdot CF
坐标 G(x1+x2+x33,y1+y2+y33)\displaystyle G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}) H(acosAx1+bcosBx2+ccosCx3acosA+bcosB+ccosC,acosAy1+bcosBy2+ccosCy3acosA+bcosB+ccosC)\displaystyle H\left(\frac{\frac{a}{\cos A}x_1+\frac{b}{\cos B}x_2+\frac{c}{\cos C}x_3}{\frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}},\frac{\frac{a}{\cos A}y_1+\frac{b}{\cos B}y_2+\frac{c}{\cos C}y_3}{\frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}}\right)
边的向量表示 AG=λ(AB+AC)KG=KA+λ(AB+AC)=KA+λ(ABABsinB+ACACsinC)\because\overrightarrow{AG}=\lambda(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) \\ \therefore\overrightarrow{KG}=\overrightarrow{KA}+\lambda(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\\=\overrightarrow{KA}+\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|\sin B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|\sin C}) λ(ABABcosB+ACACcosC)BCKH=KA+λ(ABABcosB+ACACcosC)\because \lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|\cos B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|\cos C})\perp\overrightarrow{BC}\\ \text{} \\ \therefore\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{KA}+\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|\cos B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|\cos C})
面积 SΔBGC=SΔAGC=SAGBS_{\Delta BGC}=S_{\Delta AGC}=S_{AGB} SΔBHC:SΔAHC:SΔAHB=tanA:tanB:tanCtanAHA+tanBHB+tanCHC=0S_{\Delta BHC}:S_{\Delta AHC}:S_{\Delta AHB}=\tan A:\tan B:\tan C \\ \tan A\cdot\overrightarrow{HA}+\tan B\cdot\overrightarrow{HB}+\tan C\cdot\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}
定理 线{AD2=2b2+2c2a24BE2=2a2+2c2b24CF2=2a2+2b2c24\\ 中线定理\begin{cases}AD^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\\ BE^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\\ CF^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}\end{cases}\\ 中线长定理( ABABAB \to \overrightarrow{AB}AB2+AC2=2AD2+2DB2\\ AB^2+AC^2=2AD^2+2DB^2
其余等量关系 1. \min\set{KA\cdot KB\cdot KC}=GA\cdot GB\cdot GC\\ 2. 三角形中势能最小的点为重心,即 \\ \begin{aligned}&\mathrm{min}\set{KA^2+KB^2+KC^2}\\&=GA^2+GB^2+GC^2\end{aligned} 二者都可用解析几何证明 AH=2RcosA     BH=2RcosB     CH=2RcosCHD:HE:HF=cosBcosC:cosCcosA:cosAcosCHA2+BC2=HB2+CA2=HC2+AB2AH=2R\|\cos A\|\ \ \ \ \ BH=2R\|\cos B\|\ \ \ \ \ CH=2R\|\cos C\|\\HD:HE:HF=\|\cos B\cos C\|:\|\cos C\cos A\|:\|\cos A\cos C\|\\ HA^2+BC^2=HB^2+CA^2=HC^2+AB^2
ΔABC\Delta ABC 内心 II 外心 OO
交点 内角平分线 垂直平分线
基本性质 II 到三条边的距离相等 {IA(ACACABAB)=0IB(BCBCBABA)=0IC(CBCBCBCA)=0\\ \begin{cases}\overrightarrow{IA}\cdot(\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|}-\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|})=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{IB}\cdot(\frac{\overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BC}\|}-\frac{\overrightarrow{BA}}{\|\overrightarrow{BA}\|})=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{IC}\cdot(\frac{\overrightarrow{CB}}{\|\overrightarrow{CB}\|}-\frac{\overrightarrow{CB}}{\|\overrightarrow{CA}\|})=\overrightarrow{0}\end{cases}\\ 以上三条公式括号内两向量可互换 OA=OB=OCAOB=2C    AOC=2B    BOC=2A{AOAB=12AB2AOAC=12AC2BOBC=12BC2OA=OB=OC \\ \angle_{AOB}=2\angle_C\ \ \ \ \angle_{AOC}=2\angle_B\ \ \ \ \angle_{BOC}=2\angle_A\\ \begin{cases}\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\|^2 \\ \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\|\overrightarrow{AC}\|^2\\ \overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\|\overrightarrow{BC}\|^2\end{cases}
坐标 I(axA+bxB+cxCa+b+c,ayA+byB+cyCa+b+c)\displaystyle I(\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c},\frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}) O(sin2Ax1+sin2Bx2+sin2Cx3sin2A+sin2B+sin2C,sin2Ay1+sin2By2+sin2Cy3sin2A+sin2B+sin2C)\displaystyle O\left(\frac{\sin 2Ax_1+\sin 2Bx_2+\sin 2Cx_3}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C},\frac{\sin 2Ay_1+\sin 2By_2+\sin 2Cy_3}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\right)
边的向量表示 AI=λ(ABAB+ACAC)=μ(sinBAB+sinCAC)=η(ABsinC+ACsinB)\begin{aligned}\overrightarrow{AI}&=\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|})\\&=\mu(\sin B\cdot\overrightarrow{AB}+\sin C\cdot\overrightarrow{AC})\\&=\eta(\frac{\overrightarrow{AB}}{\sin C}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\sin B})\end{aligned} KO=KB+KC2+λ(ABABcosB+ACACcosC)ΔABC\overrightarrow{KO}=\frac{\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}}{2}+\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|\cos B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|\cos C}) \\ \text{} \\ \Delta ABC 的外心在 OO 点的集合中
面积 SΔBIC:SΔAIC:SΔAIB=a:b:caIA+bIB+cIC=0S_{\Delta BIC}:S_{\Delta AIC}:S_{\Delta AIB}=a:b:c\\a\cdot\overrightarrow{IA}+b\cdot\overrightarrow{IB}+c\cdot\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} SΔBOC:SΔAOC:SΔAOB=sin2A:sin2B:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0S_{\Delta BOC}:S_{\Delta AOC}:S_{\Delta AOB}=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C\\\sin 2A\cdot\overrightarrow{OA}+\sin 2B\cdot\overrightarrow{OB}+\sin 2C\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}
定理 角平分线定理 $ AD$ 平分 BAC    ABBD=ACCD\angle BAC \implies \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}\\ 鸡爪定理 \\ AIAIΔABC\Delta ABC 外接圆于 DDID=DB=DCID=DB=DC
其余等量关系 BCIA+ACIB+ABIC=0AI:BI:CI=1sinA2:1sinB2:1sinC2\|\overrightarrow{BC}\|\cdot\overrightarrow{IA}+\|\overrightarrow{AC}\|\cdot\overrightarrow{IB}+\|\overrightarrow{AB}\|\cdot\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \\ AI:BI:CI=\frac{1}{\sin\frac{A}{2}}:\frac{1}{\sin\frac{B}{2}}:\frac{1}{\sin\frac{C}{2}} {AOAD=14(AB2+AC2)BOBE=14(BA2+BC2)COCF=14(CA2+CB2){AOBC=12(AC2AB2)BOAC=12(BC2BA2)COAB=12(CB2CA2)\begin{cases}\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}(\|\overrightarrow{AB}\|^2+\|\overrightarrow{AC}\|^2) \\ \overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}(\|\overrightarrow{BA}\|^2+\|\overrightarrow{BC}\|^2) \\ \overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{CF}=\frac{1}{4}(\|\overrightarrow{CA}\|^2+\|\overrightarrow{CB}\|^2)\end{cases}\\ \begin{cases}\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\|\overrightarrow{AC}\|^2-\|\overrightarrow{AB}\|^2) \\ \overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\|\overrightarrow{BC}\|^2-\|\overrightarrow{BA}\|^2) \\ \overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\|\overrightarrow{CB}\|^2-\|\overrightarrow{CA}\|^2)\end{cases}
  • 内接圆半径 r=tanA2(b+ca)2r=\frac{\tan\frac{A}{2}(b+c-a)}{2}

  • 欧拉定理:O,IO,I 分别为外接圆、内切圆圆心,则有 OI2=R22RrOI^2=R^2-2Rr

  • 欧拉线定理:三角形的外心 OO,垂心 HH,重心 GG 依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半,即 OG=13OH=13(OA+OB+OC)\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})

例题:根据欧拉线定理,在 ΔABC\Delta ABC 中有 AB=2,AC=3AB=2,AC=3,以下正确的有( ACD )

A. AHBC=0     B. AGBC=53     C. AOBC=52     D. OH=OA+OB+OCA.\ \overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\ \ \ \ \ B.\ \overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BC}=-\frac{5}{3}\ \ \ \ \ C.\ \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{5}{2}\ \ \ \ \ D.\ \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}

AA,因为 HH 为垂心,所以 AHBCAH\perp BC,显然正确

BBAG=13(AB+AC), BC=ACAB    AGBC=53\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),\ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\implies\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{5}{3}

CCBC=ACAB, AOAB=12AB2, AOAC=12AC2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2,\ \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|^2

DDOG=13OH,GA+GB+GC=0    OG=13(OA+OB+OC)=13OH\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH},\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\implies\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}

三角形面积公式

以下记 SS 为三角形面积,rr 为三角形内切圆半径,RR 为三角形外接圆半径

  • 海伦公式:p=a+b+c2,S=p(pa)(pb)(pc),r=(pa)(pb)(pc)pp=\frac{a+b+c}{2},S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}

  • 利用 sin\sinS=bcsinA2=absinC2=acsinB2=a2sinBsinC2sinA=b2sinAsinC2sinB=c2sinAsinB2sinCS=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ab\sin C}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}=\frac{b^2\sin A\sin C}{2\sin B}=\frac{c^2\sin A\sin B}{2\sin C}

  • 内切圆:S=r(a+b+c)2S=\frac{r(a+b+c)}{2}, 外接圆:S=2R2sinAsinBsinC=abc4RS=2R^2\sin A\sin B\sin C=\frac{abc}{4R}, 注意可与 正弦定理 连用

  • 多边形面积( 皮克定理 ):S=a+b21S=a+\frac{b}{2}-1,其中 aa 为多边形内部的点数,bb 为多边形落在格点上的点数

  • 等边三角形面积:S=34a2S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2,其中 aa 为等边三角形边长

  • ΔABC\Delta ABC 中,已知 AB=(x1,y1),AC=(x2,y2)    S=12x1y2x2y1\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1), \overrightarrow{AC}=(x_2, y_2)\implies S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|

例题 1:已知锐角三角形里 B=π3,c=2B=\frac{\pi}{3},c=2,求 SS 范围?

asinA=CsinC   a=csinAsinC=2sinAsin(2π3A)\because \frac{a}{\sin A}=\frac{C}{\sin C}\ \ \ \therefore a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{2\sin A}{\sin(\frac{2\pi}{3}-A)}

[S=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2\sin A}{\sin(\frac{2\pi}{3}-A)}=\frac{\sqrt{3}\sin A}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A+\frac{1}{2}\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2\tan A}+\frac{1}{2}}]

π6<A<π2   tanA>33,32<332tanA+12<23\because \frac{\pi}{6}<A<\frac{\pi}{2} \ \ \ \therefore\tan A>\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{2}<\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2\tan A}+\frac{1}{2}}<2\sqrt{3}

例题 2:ΔABC\Delta ABC 中满足 43S=a2+b2+c24\sqrt{3}S=a^2+b^2+c^2,求 2a3b+c\frac{2a}{3b+c} 的值?

S=12absinCS=\frac{1}{2}ab\sin Cc2=a2+b22abcosCc^2=a^2+b^2-2ab\cos C 得到 ab(3sinC+cosC)=a2+b2ab(\sqrt{3}\sin C+\cos C)=a^2+b^2

2sin(C+π6)=a2+b2ab\therefore 2\sin(C+\frac{\pi}{6})=\frac{a^2+b^2}{ab}

a2+b2ab2abab=2\because \frac{a^2+b^2}{ab}\geq\frac{2ab}{ab}=2 ( 当且仅当 a=ba=b 时取等 )

ΔABC\therefore \Delta ABC 为等边三角形,2a3b+c=12\frac{2a}{3b+c}=\frac{1}{2}

同样的一道练习题:实数 a,b,ca,b,c 满足 eab+c+ea+bc=2e2(a1)e^{a-b+c}+e^{a+b-c}=2e^2(a-1),求 (abca4+b4+c4)max\large(\frac{abc}{a^4+b^4+c^4})_{\max} 答案:28\frac{\sqrt{2}}{8}

求三角形内最值问题

已知 ΔABC\Delta ABCDD 在边 BCBC

  1. 已知 BDCD,AD,cosBAC    \frac{BD}{CD},AD,\cos\angle_{BAC}\implies 向量法(AD)2=[xAB+(1x)AC]2,S=12ABACsinBAC(\overrightarrow{AD})^2=[x\overrightarrow{AB}+(1-x)\overrightarrow{AC}]^2,S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin\angle_{BAC}

  2. 已知 ADBC,AD,cosBAC    AD\perp BC,AD,\cos\angle_{BAC}\implies 正弦定理 + 三角恒等变换AB=ADsinB,AC=ADsinCAB=\frac{AD}{\sin B},AC=\frac{AD}{\sin C}

  3. 已知一角一边     \implies 正弦定理 a=bsinAsinBa=\frac{b\sin A}{\sin B}\dots

  4. 已知 ADAD 为角平分线 [AD=λ(ACAC+ABAB)]\left[\overrightarrow{AD}=\lambda(\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}+\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|})\right]AB,AC    AB,AC\implies 角平分线定理 / 正弦定理 / 面积

  5. 求内切圆半径取值范围 r=2Sa+b+cr=\frac{2S}{a+b+c}

    例:已知 c=2,C=60°    r=32aba+b+2=36(a+b)24a+b+2=36(a+b2)=36(csinAsinC+csinBsinC)=c=2,C=60\degree\implies r=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{ab}{a+b+2}\xlongequal{余弦定理}\frac{\sqrt{3}}{6}\frac{(a+b)^2-4}{a+b+2}=\frac{\sqrt{3}}{6}(a+b-2)=\frac{\sqrt{3}}{6}(\frac{c\sin A}{\sin C}+\frac{c\sin B}{\sin C})=\dots

立体几何

弧度制与面积计算

  • 360°=2π rad, 180°=π rad360\degree=2\pi\ \text{rad},\ 180\degree=\pi\ \text{rad}

  • 1°=π180 rad0.01745 rad,1 rad=(180π)°57.29578°1\degree=\frac{\pi}{180}\ \text{rad}\approx0.01745\ \text{rad},1\ \text{rad}=(\frac{180}{\pi})\degree\approx 57.29578\degree

  • x°=xπ180 rad,x rad=(180xπ)°x\degree=\frac{x\pi}{180}\ \text{rad},x \ \text{rad}=(\frac{180x}{\pi})\degree

  • 圆心角大小( 弧度 ) α=lr    |\alpha|=\frac{l}{r}\ \ \ \ \text{} 圆心角大小( 角度 ) n=180lrπn=\frac{180\cdot l}{r\pi}

  • 弧长 l=αrl=\alpha r,周长 C=2r+lC=2r+l,面积 S=12αr2=12lrS=\frac{1}{2}\alpha r^2=\frac{1}{2}lr

基本立体图形

  • 共性:都具有顶点、底面、侧面、侧棱( 相邻侧面的公共边 )

  • 棱柱:有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都相互平行。底面是 nn 边形就叫 nn 棱柱。斜高:侧面的高。

    侧棱垂直于底面的柱叫做直棱柱,侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体

    \set{正方体}\in\set{正四棱柱}\in\set{长方体}\in\set{直四棱柱}

  • 棱锥:三棱锥又叫四面体( 即由四个面组成的封闭图形只能是三棱锥 ),底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥

    正三棱锥 / 正四面体的三条对棱两两垂直

  • 棱台:棱锥上部通过平行于底面的面截取上部且上下底面平行

  • 圆柱 / 圆锥 / 圆台:旋转轴称为它的轴,平行于轴的边叫做它侧面的母线。

  • 欧拉公式:VE+F=2V-E+F=2,即 顶点数 - 棱数 ++ 面数 =2=2

    对于正 nn 面体( nn 个等边三角形 ),面数为 nn,棱数为 32n\frac{3}{2}n( 每个面 33 条棱,每条棱分属 22 个面 )

立体图形的直观图

  • 斜二测画法

    xOy=90°x xOy=45°\angle xOy=90\degree\xLeftrightarrow{x\ 轴不变}\angle x'Oy'=45\degree135°,xOz=xOz=90°135\degree,\angle x'Oz'=\angle xOz=90\degree\\ 原来平行于 xx 轴 或 zz 的线段,在直观图中保持原长度不变,原来平行于 yy 轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半。

  • S=24S,S=22SS_{直}=\frac{\sqrt{2}}{4}S_{原},S_{原}=2\sqrt{2}S_{直}

简单几何体的表面积和体积

下表中 rr 为底面半径,ll 为母线长,hh 为高,CC 为底面周长;特别地,台体 SSSS' 分别代表上下底面面积,rrrr' 同理。\\
棱锥侧面积计算公式中,aa 代表底面边长,hh' 为斜高。棱台侧面积计算公式中,C,CC'',C' 分别代表上下底面周长,hh'' 代表斜高。

几何体 表面积 体积 侧面积
棱柱 围成它们的各个面面积之和 V=ShV=Sh S=ChS_{直棱柱侧}=Ch
棱锥 围成它们的各个面面积之和 V=13ShV=\frac{1}{3}Sh S n =12nahS_{正\ n\ 棱锥侧}=\frac{1}{2}nah'
棱台 围成它们的各个面面积之和 V=13h(S+SS+S)V=\frac{1}{3}h(S'+\sqrt{S'S}+S) S=12(C+C)hS_{正棱台侧}=\frac{1}{2}(C''+C')h''
圆柱 S=2πr(r+l)S=2\pi r(r+l) V=Sh=πr2hV=Sh=\pi r^2h S=2πrlS_{圆柱侧}=2\pi rl
圆锥 S=πr(r+l)S=\pi r(r+l) V=13Sh=13πr2hV=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\pi r^2h S=πrlS_{圆锥侧}=\pi rl
圆台 S=π(r2+r2+rl+rl)S=\pi(r'^2+r^2+r'l+rl) V=13h(S+SS+S)=13πh(r2+rr+r2)\begin{aligned}V&=\frac{1}{3}h(S'+\sqrt{S'S}+S)\\&=\frac{1}{3}\pi h(r'^2+r'r+r^2)\end{aligned} S=π(r+r)lS_{圆台侧}=\pi(r+r')l
S=4πr2S=4\pi r^2 V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^3 /
  • 祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。

  • 画展开图类问题:绳绕棱锥 / 圆锥,先求出展开图圆心角的度数( 大概率 90°90\degree

    例 1:在正四棱锥 OABCDO-ABCD 中,侧棱长均为 44,且相邻两条侧棱的夹角为 30°30\degreeE,FE,F 分别为线段 OB,OCOB,OC 上的一点,则 AE+EF+FDAE+EF+FD 的最小值为 ?( 424\sqrt{2}

    例 2:一个圆台的上、下底面半径分别为 5,105,10,母线 AB=20AB=20,从圆台母线 ABAB 的中点 MM 拉一条绳子绕圆台侧面转到 AA,求绳子的最短长度( 5050 )和上底面圆周上的点到绳子的最短距离( 44

  • 射影问题:三棱锥 PABCP-ABC 中,OOPP 在平面 ABCABC 内的射影

OO 为外心 OO 为内心 OO 为垂心
1.PA=PB=PC2.PA,PB,PC1. PA=PB=PC \\ 2. PA,PB,PC 与平面 ABCABC 所成角相等 1.P1. PΔABC\Delta ABC 各边距离相等 2.\\ 2. 三侧面与底面所成二面角相等 1.PAPB,PBPC,PAPC2.PABC,PBAC,PCAB1. PA\perp PB,PB\perp PC,PA\perp PC \\ 2. PA \perp BC,PB\perp AC, PC\perp AB \\( 三组对棱互相垂直 )

球与几何体的外接、内切问题

  • 外接球:多面体 / 旋转体的顶点均在球面上,球心到各个顶点的距离相等,球心在旋转轴上。

    注意 球心可能在几何体外

  • 内切球:多面体 / 旋转体的各面均与球面相切,球心到各面的距离相等,球心在旋转轴上。

    利用等体积法求半径( V=13SrV=\frac{1}{3}S_表 r ),再求每个面面积,最后 =    \boxed{各个棱锥的体积之和 = 多面体体积}\implies 内切球半径

    例 1:若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长度均为 22,则三棱锥外接球半径 R=22+22+222=3R=\frac{\sqrt{2^2+2^2+2^2}}{2}=\sqrt{3}

    例 2:若三棱锥 PABCP-ABC 的三条侧棱两两垂直,AB=5,BC=7,AC=2AB=\sqrt{5},BC=\sqrt{7},AC=2,则此三棱锥的外接球的体积为?

    2R=PA2+PB2+PC2=12(AC2+AB2+BC2)=22,R=2,V=43πR3=823π2R=\sqrt{PA^2+PB^2+PC^2}=\sqrt{\frac{1}{2}(AC^2+AB^2+BC^2)}=2\sqrt{2},R=\sqrt{2},V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi

  • 球内接正三棱锥的体积最大值 == 球内接正四面体的体积

    球内接正四棱锥的体积最大值 == 一个底面边长 == 高的正四棱锥的体积

几何体 外接球半径 RR 外接球球心 内切球半径 rr
长方体 2R=a2+b2+c22R=\sqrt{a^2+b^2+c^2} 体对角线的中点
正方体 R=32aR=\frac{\sqrt{3}}{2}a 体对角线的中点 $r=\frac{a}{2} \ $ 与正方体各棱相切的球 \\ 叫做棱切球,半径 2a2\frac{\sqrt{2}a}{2}
直棱柱 / 圆柱 R2=(h2)2+r2rR^2=(\frac{h}{2})^2+r^2\\ r 为底面外接圆半径 \\ 可利用正弦定理求 上下底面中心连线的中点
侧棱与底面 \\ 垂直的锥体 R2=(h2)2+r2rR^2=(\frac{h}{2})^2+r^2\\ r 为底面外接圆半径 \\ 可利用正弦定理求 过底面外接圆圆心 \\ 且垂直于底面的直线 \\ 与垂直于底面的侧棱 \\ 的中垂面的交点
正棱锥 / 圆锥 R2=(Rh)2+r2    R=h2+r22hrR^2=(R-h)^2+r^2\\ \implies R=\frac{h^2+r^2}{2h}\\ r 为底面外接圆半径 \\ 可利用正弦定理求 正棱锥 / 圆锥顶点与 \\ 底面外心连线 / 延长线上
正四面体 \\6a3\frac{\sqrt{6}a}{3}\\ 体积 212a3\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 R=64aaR=\frac{\sqrt{6}}{4}a \\ a 为其棱长 \\ 也可用长方体的公式 r=612aar=\frac{\sqrt{6}}{12}a \\ a 为其棱长
  • 若某一几何体的表面积为 SS,体积为 VV,内切球半径为 rr,则满足 V=13SrV=\frac{1}{3}Sr

  • 将四面体补形成长方体的条件( 满足其中之一即可 ):

    1. 有三条棱两两垂直
    2. 四个面均是直角三角形
    3. 正四面体 PABCP-ABC 可以补形成正方体且棱长 a=PA2a=\frac{PA}{\sqrt{2}}
    4. 三组对棱分别相等,长度记为 x,y,zx,y,z,长方体边长记为 a,b,ca,b,c,则 {x=a2+b2y=b2+c2z=a2+c2\begin{cases} x=\sqrt{a^2+b^2} \\ y=\sqrt{b^2+c^2} \\ z=\sqrt{a^2+c^2} \end{cases}

空间点、直线、平面之间的关系

  • 平面的表示:用横向 / 竖向的平行四边形表示,书写方法:平面 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma\dots 或 平面 ABCDABCD,平面 AC,BDAC,BD

四个基本事实与三个推论

  • 基本事实

    1. 过不在 同一直线上 的三个点,有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面

      一条直线与直线外一点也能确定一个平面。

      在同一平面内,nn 条直线最多把平面划分为 1+n(n1)21+\frac{n(n-1)}{2} 份;在空间内,nn 个平面最多把空间分为 n3+5n+66\frac{n^3+5n+6}{6}

      相交于同一点的 nn 条直线最多可以确定 {n(n1)2  3 (n3)(n4)2  3 \begin{cases}\frac{n(n-1)}{2}\ 个平面 & 任意\ 3\ 条不共面 \\ \frac{(n-3)(n-4)}{2}\ 个平面 & 有\ 3\ 条不共面 \end{cases}

    2. 如果一条直线上的两个点在同一平面内,那么这条直线在这个平面内。即

      直线 llα\alphalα    \xLeftrightarrow{}l\subset\alpha\ \ \ \ \text{} 直线 ll 不在 α\alphalα\xLeftrightarrow{}l\not\subset\alpha

      基本事实 2 用符号表示为:Al,BlA\in l,B\in lAα,Bα    lαA\in\alpha,B\in\alpha\implies l\subset\alpha

    3. 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

      平面 α\alphaβ\beta 相交于直线 ll,记作 αβ=l\alpha\bigcap\beta=l

      基本事实 3 用符号表示为:PαP\in\alphaPβ    αβ=lP\in\beta\implies\alpha\bigcap\beta=lPlP\in l

    4. 平行于同一条直线的两条直线平行。( 平行线的传递性 )

    注意表示 在 直线 / 平面 内用 \in,表示 直线 在 平面 内用 \subset

  • 推论( 基本事实 1 + 2 + 两点确定一条直线 )

    1. 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
    2. 经过两条相交直线,有且只有一个平面。
    3. 经过两条平行直线,有且只有一个平面。

空间点、直线、平面之间的位置关系

[直线与直线\begin{cases}共面直线\begin{cases}相交直线:在同一平面内,有且只有一个公共点 \ 平行直线:在同一平面内,没有公共点\end{cases} \ 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点\end{cases}]

[直线与平面\begin{cases}直线在平面内 \ \ \ \ \ \ \ \ 有无数个公共点 \ \begin{rcases}直线与平面相交 & 有且只有一个公共点 \ 直线与平面平行 & 没有公共点\end{rcases} 直线在平面外 \end{cases}]

[直线\ a\ 与平面\ \alpha\ 相交于点\ A,记作a\bigcap\alpha=A\ \ \ \ \ 直线\ a\ 与平面\ \alpha\ 平行,记作\ a//\alpha]

[平面与平面\begin{cases}两个平面平行 & 没有公共点 \ 两个平面相交 & 有一条公共直线\end{cases}]

[平面\ \alpha\ 与平面\ \beta\ 平行,记作\ \alpha//\beta]

证明共面、共线、共点

  1. 证明点、线共面:证明直线平行 / 相交;确定一个辅助平面;反证法
  2. 证明三点共线:先找 22 个平面,证明这 33 点都是 22 个平面公共点 / 其中 22 点确定 11 条直线,证另一点也在直线上
  3. 证明三线共点:先证明两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这个点或交点在第三条直线上

注意梯形两腰必交于一点;在空间中,不能用两组对边分别相等证明平行四边形

例题:已知正方体 ABCDA1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1M,NM,N 为棱 A1B1,B1C1A_1B_1,B_1C_1 中点,求证:     (1)\\ \ \ \ \ \ (1) 直线 AM,CNAM,CN 共面      (2)\\ \ \ \ \ \ (2) 直线 D1BD_1BCC1CC_1 是异面直线

pf:(1)AA1CC1,AA1=CC1    pf:(1)AA_1 \parallel CC_1,AA_1=CC_1\implies 四边形 ACC1A1ACC_1A_1 是平行四边形     ACA1C1MN    \ \ \ \ AC\parallel A_1C_1\parallel MN \implies 直线 AM,CNAM,CN 共面

       (2)\ \ \ \ \ \ \ (2) 反证法,假设四点共面于 α\alpha,则 B,C,C1B,C,C_1 可以确定一个平面 BC1BC_1,这两个平面重合,又因为 $D_1B \sub $ 平面 BC1BC_1,所以 D1D_1\in 平面 BC1BC_1,与 D1D_1\notin 平面 BC1BC_1 矛盾,故原假设错误。

空间直线、平面的平行

  1. 等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么两个角相等或互补。

  2. 直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行。

    用符号表示:aα,bα,a//b    a//αa\not\subset\alpha,b\subset\alpha,a//b\implies a//\alpha

  3. 直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行。

    用符号表示:a//α,αβ=b,aβ    a//ba//\alpha,\alpha\bigcap\beta=b,a\subset\beta\implies a//b

  4. 平面与平面平行的判定定理:如果一个平面内的 两条相交直线 与另一个平面平行,那么这两个平面平行。

    用符号表示:aβ,bβ,ab=P,a//α,b//α    α//βa\subset\beta,b\subset\beta,a\bigcap b=P,a//\alpha,b//\alpha\implies\alpha//\beta

  5. 平面与平面平行的性质定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行。

    用符号表示:α//β,αγ=a,βγ=b    a//b\alpha//\beta,\alpha\bigcap\gamma=a,\beta\bigcap\gamma=b\implies a//b

可简记为:线线平行 \xLeftrightarrow{} 线面平行     \implies 面面平行     \implies 线线平行,恰好形成一个循环

空间直线、平面的垂直

  • 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 垂直,那么该直线与此平面垂直

    用符号表示:mα,nα,mn=P,lm,ln    lαm\subset\alpha,n\subset\alpha,m\bigcap n=P,l\perp m,l\perp n\implies l\perp\alpha

  • 直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两直线平行

  • 平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直

    用符号表示:aα,aβ    αβa\subset\alpha,a\perp\beta\implies\alpha\perp\beta

  • 平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直。

空间直线、平面的平行

  1. 三棱锥 PABCP-ABC 中,D,ED,E 分别是 PB,BCPB,BC 中点,点 FF 在线段 ACAC 上,且满足 $AD // $ 平面 PEFPEF,则 AFFC= ?\frac{AF}{FC}=\ ?

    解析:连接 CDCD,交 PEPE 于点 GG,连接 FGFG,如图

    AD//AD // 平面 PEFPEF, 平面 PEF PEF\ \cap 平面 ADC=FG    AD//FGADC=FG\implies AD // FG

    D,ED,E 分别是 PB,BCPB,BC 中点     G\implies GΔPBC\Delta PBC 重心AFFC=DGGC=12\frac{AF}{FC}=\frac{DG}{GC}=\frac{1}{2}


  1. 长方体 ABCDA1B1C1D1,AB=BC,EABCD-A_1B_1C_1D_1,AB=BC,EABAB 上靠近 BB 的三等分点,FFA1D1A_1D_1 中点,O\\ O 为直线 DB1DB_1 与平面 EFCEFC 交点,DOOB1= ?\frac{DO}{OB_1}=\ ?

    解析:连接 BD,B1D1,BDCE=MBD,B_1D_1,BD \cap CE=M\\ 设平面 CEFCEF 与平面 A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 的交线交 C1D1,B1D1,A1B1C_1D_1,B_1D_1,A_1B_1 分别于点 P,N,QP,N,Q,如图

    CE//PQ    PFD1=BCE    RtΔPFD1RtΔECB,PD1FD1=EBBC=13CE // PQ \implies \angle PFD_1=\angle BCE \implies \mathrm{Rt}\Delta PFD_1 \backsim \mathrm{Rt}\Delta ECB,\frac{PD_1}{FD_1}=\frac{EB}{BC}=\frac{1}{3}

    QA1=PD1=13FD1=16A1B1    B1NND1=B1QPD1=7QA_1=PD_1=\frac{1}{3}FD_1=\frac{1}{6}A_1B_1\implies\frac{B_1N}{ND_1}=\frac{B_1Q}{PD_1}=7

    DMMB=DCEB=3    DM=34BD    DOOB1=DMNB1=67\frac{DM}{MB}=\frac{DC}{EB}=3\implies DM=\frac{3}{4}BD\implies\frac{DO}{OB_1}=\frac{DM}{NB_1}=\frac{6}{7}


  1. 四棱锥 PABCDP-ABCD 的底面是边长为 11 的正方形,EEPDPD 上一点满足 PE=3EDPE=3ED\\PF=λPC\overrightarrow{PF}=\lambda\overrightarrow{PC}BF//BF// 平面 AECAEC,则 λ=\lambda=

    解析:连接 BDBDACAC 于点 OO,连接 OEOE,在 PDPD 上取一点 GG 使得 GE=EDGE=ED

    ΔBGD\Delta BGDEOEO 为其中位线     BG//\implies BG// 平面 AEC    AEC\implies 平面 BFG //BFG\ // 平面 AECAEC

    PFFC=PGGE=2,λ=23\frac{PF}{FC}=\frac{PG}{GE}=2,\lambda=\frac{2}{3}


  1. 在长方体 ABCDA1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中,AD=DD1=1,AB=3,E,F,GAD=DD_1=1,AB=\sqrt{3},E,F,G 分别是 AB,BC,C1D1AB,BC,C_1D_1 的中点,点 PP 在平面 ABCDABCD 内,若直线 D1P //D_1P\ // 平面 EFGEFG,则点 D1D_1 与满足题意的点 PP 构成的平面截长方体所得的截面的面积为 ?

    解析:

    只需证明点 D1D_1 与满足题意的点 PP 构成的平面 D1ACD_1AC 平行于平面 EFGEFG 即可,答案即为 SΔD1AC=72S_{\Delta D_1AC}=\frac{\sqrt{7}}{2}


  1. 如图,三棱柱 ABCA1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中,DDB1C1B_1C_1 中点,EEA1C1A_1C_1 上一点满足 A1B//A_1B// 平面 B1DEB_1DEA1EEC1= ?\frac{A_1E}{EC_1}=\ ?

    解析:连接 BC1BC_1B1DB_1DFF,易证 ΔA1BC1ΔEFC1,A1EEC1=BFFC1=BDB1C=12\Delta A_1BC_1 \backsim \Delta EFC_1,\frac{A_1E}{EC_1}=\frac{BF}{FC_1}=\frac{BD}{B_1C}=\frac{1}{2}

空间直线、平面的垂直

  1. 如图,PPΔABC\Delta ABC 所在平面外一点,PAPA\perp 平面 ABC,ABC=90°,AEPBABC,\angle ABC=90\degree,AE\perp PBE,AFPCE,AF\perp PCF.F.\\ 求证:(1) BC(1)\ BC\perp 平面 PAB          (2) AEPAB \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ AE\perp 平面 PBC          (3) PCPBC \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\ PC\perp 平面 AEFAEF

    解析:(1) ABC=90°    BCAB       PA(1)\ \angle ABC=90\degree\implies BC\perp AB\ \ \ \ \ \ \ PA\perp 平面 ABC    BCPA          (2) BCABC\implies BC\perp PA\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ BC\perp 平面 PAB    AEBC          (3) AEPAB\implies AE\perp BC\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\ AE\perp 平面 PBC    PCAEPBC\implies PC\perp AE

定理 & 二级结论

  • 三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面外的一条斜线在该平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

    逆定理:如果平面内一直线和这个平面外的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

  • 空间第一余弦定理:如图,AEBC,DFBCAE\perp BC,DF\perp BC,则二面角 ABCDA-BC-D 的大小 θ\theta 满足

    cosθ=AE2+EF2+FD2AD22AEFD\cos\theta=\frac{AE^2+EF^2+FD^2-AD^2}{2AE\cdot FD}

  • 空间第二余弦定理:空间中两直线 AB,CDAB,CD 的夹角 θ\theta 满足 cosθ=AD2+BC2AC2BD22ABCD\cos\theta=\frac{|AD^2+BC^2-AC^2-BD^2|}{2AB\cdot CD}

    证明:ACBD=AC(ADAB)=ACADcosCADACABcosCAB=ACADAC2+AD2CD22ACADACABAC2+AB2BC22ACAB=AD2+CB2AB2CD22\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AD}|\cos\angle_{CAD}-|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|\cos\angle_{CAB}=AC\cdot AD\cdot \frac{AC^2+AD^2-CD^2}{2AC\cdot AD}-AC\cdot AB\cdot\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2AC\cdot AB}=\frac{AD^2+CB^2-AB^2-CD^2}{2}

  • 三面角公式求二面角:已知 APB=θ1,BPC=θ2,APC=θ3\angle_{APB}=\theta_1,\angle_{BPC}=\theta_2,\angle_{APC}=\theta_3

    则二面角 APBCA-PB-C 的余弦值为 cosθ=cosθ3cosθ1cosθ2sinθ1sinθ2=cosAPCcosAPBcosBPCsinAPBsinBPC\cos\theta=\frac{\cos\theta_3-\cos\theta_1\cos\theta_2}{\sin\theta_1\sin\theta_2}=\frac{\cos\angle_{APC}-\cos\angle_{APB}\cdot\cos\angle_{BPC}}{\sin\angle_{APB}\cdot\sin\angle_{BPC}}

    注意三个角度在公式中分布特点,θ3\theta_3 是二面角 APBCA-PB-C 的对角,而 θ1,θ2\theta_1,\theta_2 就是二面角 APBCA-PB-C 的两个邻角

  • 三正弦定理:二面角 MABNM-AB-N 的度数为 α\alpha,平面 MM 上有一射线 ACACABAB 所成角为 β\beta,与平面 NN 所成角为 γ\gamma,则 sinγ=sinαsinβ\sin\gamma=\sin\alpha\sin\beta

  • 三余弦定理 / 最小角定理:设 AA 为平面 α\alpha 上一点,过点 AA 的斜线 AOAO 在平面 α\alpha 上的射影为 ABABACAC 为平面 α\alpha 内的一条直线,那么有 cosOAC=cosBAC=cosOAB\cos\angle OAC=\cos\angle BAC=\cos\angle OAB

证明:cosOAC=ACAO    cosBAC=ACAB    cosOAB=ABAO\cos\angle OAC=\frac{AC}{AO}\ \ \ \ \cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}\ \ \ \ \cos\angle OAB=\frac{AB}{AO}

斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中最小的角

  • 异面直线段 AB=a,CD=bAB=a,CD=b,它们之间的距离为 dd,夹角为 θ\theta,则 VABCD=16abdsinθV_{A-BCD}=\frac{1}{6}abd\sin\theta

  • 面积余弦定理:ΔABC\Delta ABC 在平面 α\alpha 内的射影为 ΔABO\Delta ABO,记 ΔABC\Delta ABC 所在平面与 α\alpha 所称的锐二面角为 θ\theta,则 SΔABO=cosθSΔABCS_{\Delta ABO}=\cos\theta S_{\Delta ABC}

翻折问题

  • 不在同一平面的两点路径问题的翻折只能以折点所在直线翻折

例:长方体 ABCDA1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中,AB=1,AD=2,AA1=3,PAB=1,AD=2,AA_1=3,P 是线段 B1CB_1C 上一动点,求 AP+PD1AP+PD_1 的最小值 ?

画出直观图后,应将平面 AB1CAB_1C 和平面 B1CD1B_1CD_1 翻折到同一平面上,显然 AB1D1CAB_1D_1C 是平行四边形。

根据平行四边形中对角线平分和 == 四条边平方和可得 (AP+PD1)min=AD1=17(AP+PD_1)_{\min}=AD_1=\sqrt{17}

  • 注意分类讨论

例:直三棱柱 ABCA1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中,E,FE,F 分别为 AA1,C1B1AA_1,C_1B_1 的中点,沿棱柱的表面从 EEFF 两点的最短路径的长度是 ?

分三类讨论:

  1. 沿 BB1BB_1 展开,算得 EF=222EF=\frac{\sqrt{22}}{2}
  2. 沿 A1C1A_1C_1 展开,算得 EF=322EF=\frac{3\sqrt{2}}{2}
  3. 沿 A1B1A_1B_1 展开,算得 EF=72+2EF=\sqrt{\frac{7}{2}+\sqrt{2}}

于是 EFmin=322EF_{\min}=\frac{3\sqrt{2}}{2}

截面问题

  1. 求过圆锥顶点的截面面积最大值:记轴截面顶角为 θ\thetasinθ=rl\sin\theta=\frac{r}{l} {θ>π2,Smax=12l2sinθ    12l2θπ2,Smax= \begin{cases}\theta>\frac{\pi}{2},S_{\max}=\frac{1}{2}l^2\sin\theta\implies\frac{1}{2}l^2 \\ \theta\leq\frac{\pi}{2},S_{\max}=\ 轴截面面积 \end{cases}

  2. 正方体棱长为 11,每条棱所在直线与平面 α\alpha 所称角相等,则 α\alpha 截此正方体所得截面面积最大值 ?

注意正方体截面可以是 3,4,5,63,4,5,6 边形,最大面积是 334\frac{3\sqrt{3}}{4}

例题:在棱长为 22 的正方体 ABCDA1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中,EE 为棱 AA1AA_1 中点,点 FFA1B1A_1B_1 上且满足 A1F=λA1B1\overrightarrow{A_1F}=\lambda\overrightarrow{A_1B_1},以下正确的有( ACD\text{ACD}

A.\text{A.}λ=0\lambda=0 时,AC1AC_1\perp 平面 BDFBDF

B.\text{B.} λ[0,1],VFBDE\forall\lambda\in[0,1],V_{F-BDE} 不变

C.\text{C.} λ[0,1]\exist\lambda\in[0,1],直线 ACAC 与平面 BDFBDF 所成角为 π3\frac{\pi}{3}

D.\text{D.}λ=23\lambda=\frac{2}{3} 时,平面 BDFBDF 截正方体外接球所得截面面积为 5619π\frac{56}{19}\pi

选项 D\text{D} 解析:

首先把平面补全为 BDGFBDGF,其中 GG 为棱 A1D1A_1D_1 上靠近 D1D_1 的三等分点

连接 A1C1A_1C_1GF,B1D1GF,B_1D_1 分别交于点 P,QP,Q,连接 ACACBDBD 交于点 EE,连接 PEPE

显然正方体外接球球心 OO 为线段 QEQE 中点,记截面所在圆的圆心为 O1O_1,则 OO1OO_1\perp 平面 BDFBDF

因为 P,EP,E 均为对角线上的点,所以 O1O_1 在线段 PEPE

于是 RtΔPQERtΔOO1E\text{Rt}\Delta PQE \sim \text{Rt} \Delta OO_1E,可算得 PQ=23,PE=383,OO1=119PQ=\frac{\sqrt{2}}{3},PE=\frac{\sqrt{38}}{3},OO_1=\frac{1}{\sqrt{19}}

正方体外接球半径 R=3R=\sqrt{3},截面圆半径 r=R2OO12=226619,S=πr2=5619πr=\sqrt{R^2-OO_1^2}=\frac{2\sqrt{266}}{19},S=\pi r^2=\frac{56}{19}\pi

空间向量

基本运算同平面向量。

  • OP=xOA+yOB+zOC\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}x+y+z=1,A,B,Cx+y+z=1,A,B,C 不共线,OO\not\subset 平面 ABC    A,P,B,CABC\implies A,P,B,C 四点共面

  • 法向量:垂直于平面 α\alpha 的向量,有无数多个;怎么求:设法向量为 (x,y,z)(x,y,z),求出平面内两个向量的坐标表示,点乘列方程组求

  • 速求平面法向量:已知平面 α\alpha 上的两个向量 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2),则平面的一个法向量为 (y1z1y2z2,z1x1z2x2,x1y1x2y2)=(y1z2y2z1,z1x2z2x1,x1y2x2y1)(\begin{vmatrix}y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2\end{vmatrix})=(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1)

    相当于求向量叉乘

  • 对称问题

    (a,b,c)(a,b,c) 关于什么对称,什么就不变

    原点 OO xx yy zz OxyOxy 平面 OyzOyz 平面 OxzOxz 平面
    (a,b,c)(-a,-b,-c) (a,b,c)(a,-b,-c) (a,b,c)(-a,b,-c) (a,b,c)(-a,-b,c) (a,b,c)(a,b,-c) (a,b,c)(-a,b,c) (a,b,c)(a,-b,c)

用空间向量研究距离、夹角问题

  1. 点线距 —— 求点 AA 到直线 BCBC 的距离

    a=BA,u=BCBC,d=a2(au)2\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BA},\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|},d=\sqrt{\overrightarrow{a}^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{u})^2}

  2. 点面距 / 线面距 / 面面距 —— 求点 AA 到平面 BCDBCD 的距离

    1. 等体积法,VABCD=VBACD=VCABD=VDABCV_{A-BCD}=V_{B-ACD}=V_{C-ABD}=V_{D-ABC}
    2. 求平面 BCDBCD 的法向量 n,d=BAnn\overrightarrow{n},d=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}
    3. A(x0,y0,z0)A(x_0,y_0,z_0),平面的解析式 Ax+By+Cz+D=0,d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2Ax+By+Cz+D=0,d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
  3. 线线角 —— 求 AB,CDAB,CD 夹角 θ\theta

    1. 求出它们的方向向量 u,v\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},则 cosθ=ABCDABCD=uvuv\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}
    2. 空间第二余弦定理 cosθ=AD2+BC2AC2BD22ABCD\cos\theta=\frac{|AD^2+BC^2-AC^2-BD^2|}{2AB\cdot CD}
  4. 线面角 —— sinθ=unun\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{n}|} 亦可用等体积法

  5. 二面角 —— cosθ=n1n2n1n2\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}

两直线所成角 异面直线所成角 线面角 平面与平面的夹角 二面角 向量夹角 倾斜角
[0,π2][0,\frac{\pi}{2}] (0,π2](0,\frac{\pi}{2}] [0,π2][0,\frac{\pi}{2}] [0,π2][0,\frac{\pi}{2}] [0,π][0,\pi] [0,π][0,\pi] [0,π)[0,\pi)

向量叉乘

  • a=axi+ayj+azk\overrightarrow{a}=a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}+a_z\overrightarrow{k}b=bxi+byj+bzk\overrightarrow{b}=b_x\overrightarrow{i}+b_y\overrightarrow{j}+b_z\overrightarrow{k},则 c=a×b=ijkaxayazbxbybz\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}

叉乘的结果是向量,该向量的模值与 a,b\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} 构成的平行四边形面积相等,即 a×b=absinθ=x1y2x2y1|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||\sin\theta|=x_1y_2-x_2y_1

该向量的方向垂直于 a,b\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} 构成的平面,用右手螺旋性质确定

运算特性:{a×b=b×aa×a=0a×(b+c)=a×b+a×c(a×b)×c=(ac)b(bc)a\begin{cases} \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a} \\ \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c} \\ (\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\times\overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})\overrightarrow{a} \end{cases}

直线和圆的方程

倾斜角:xx 轴正向与直线 ll 向上的方向之间所成的角 α\alpha

斜率:k=tanα=y2y1x2x1k=\tan\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

l1l2    k1k2=0,α1α2=90°l_1\perp l_2\implies k_1\cdot k_2=0,|\alpha_1-\alpha_2|=90\degree

直线的一般式方程:Ax+By+C=0    Ax+By+C=0\implies 斜截式方程 y=ABxCBy=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}

点到直线距离公式:d=Ax0+By0+CA2+B2\displaystyle \boxed{d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}

两条平行直线之间距离:d=C1C2A2+B2\displaystyle \boxed{d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}}

圆的标准方程:(xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,其中 D2+E24F>0D^2+E^2-4F>0,化为标准形式为                        (x+D2)2+(y+E2)2=D2+E24F4\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \displaystyle\boxed{\left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}}

两圆关系 内含 内切 相交 外切 相离
公切线数 00 11 22 33 44

(x1,y1),(x2,y2)(x_1,y_1),(x_2,y_2) 为直径的两端点的圆的方程:(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0

过圆 (xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 上一点 (x0,y0)(x_0,y_0) 的切线方程为 (xa)(x0a)+(yb)(y0b)=r2(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2

过圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E24F>0)x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\ (D^2+E^2-4F>0) 上一点 (x0,y0)(x_0,y_0) 的切线方程为         x0x+y0y+D(x+x0)2+E(y+y0)2+F=0\\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ x_0x+y_0y+\frac{D(x+x_0)}{2}+\frac{E(y+y_0)}{2}+F=0

设点 M(x0,y0)M(x_0,y_0) 是圆 (xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 外一点,过点 MM 作圆的两条切线,切点分别为 A,BA,B,则直线 ABAB 的方程为 (xa)(x0a)+(yb)(y0b)=r2(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2

经过圆外一点 P(x0,y0)P(x_0,y_0) 引圆的两条切线,则

圆的方程 切线长公式
(xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 (x0a)2+(y0b)2r2\sqrt{(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2}
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \\ (D^2+E^2-4F>0) x02+y02+Dx0+Ey0+F\sqrt{x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F}

两圆相交时,两圆方程做差得到公共弦所在直线的方程,即 D1x+E1y+F1(D2x+E2y+F2)=0D_1x+E_1y+F_1-(D_2x+E_2y+F_2)=0

圆锥曲线的方程

椭圆

  • 概念:平面内到两个焦点 F1,F2F_1,F_2 的距离的和等于常数( 大于 F1F2|F_1F_2| )的点的轨迹叫做椭圆.

集合 P=\set{M||MF_1|+|MF_2|=2a},|F_1F_2|=2c

标准方程 x2a2+y2b2=1(a>b>0)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\\ 焦点在 xx 轴上 x2b2+y2a2=1(a>b>0)\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1(a>b>0)\\ 焦点在 yy 轴上
顶点坐标 (±a,0),(0,±b)(\pm a,0),(0,\pm b) (±b,0),(0,±a)(\pm b,0),(0,\pm a)
对称轴 xx 轴、yy xx 轴、yy
焦点坐标 (±c,0)(\pm c,0) (0,±c)(0,\pm c)
准线 x=±a2cx=\pm\frac{a^2}{c}
  • c2=a2b2\boxed{c^2=a^2-b^2},离心率 e=ca (0<e<1)\boxed{e=\frac{c}{a}}\ (0<e<1)

ee 越趋近于 11 ,椭圆越扁;否则越圆

椭圆的面积:S=πabS=\pi aba,ba,b 分别为长半轴、短半轴的长 )

准线:椭圆上一点 M(x,y)M(x,y) 与顶点 F(±c,0)F(\pm c,0) 的距离和它到定直线 l:x=±a2cl:x=\pm\frac{a^2}{c} 的距离比是常数 ee( 椭圆的第二定义 )

椭圆焦点三角形的性质

椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 上异于左、右顶点的点 P(x0,y0)P(x_0,y_0) 与两焦点 F1,F2F_1,F_2 构成的 ΔPF1F2\Delta PF_1F_2 叫做焦点三角形。

以下记 F1PF2=θ\angle F_1PF_2=\theta

  1. 周长 C=2(a+c)C=2(a+c)

  2. 面积 S=b2tanθ2=cy0=12PF1PF2sinθ=r(a+c)\boxed{S=b^2\tan\frac{\theta}{2}=c|y_0|=\frac{1}{2}|PF_1||PF_2|\sin\theta=r(a+c)}rr 为焦点三角形的内接圆半径,当 y0=by_0=b 即点 PP 的位置为短轴端点时取最大值,且 cosθ12e2\cos\theta\geq 1-2e^2

    证明:由余弦定理,F1F22=PF12+PF222PF1PF2cosθ=(PF1+PF2)22(1+cosθ)PF1PF2|F_1F_2|^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|\cos\theta=(|PF_1|+|PF_2|)^2-2(1+\cos\theta)\cdot|PF_1||PF_2|

    因为 PF1+PF2=2a,F1F2=2c|PF_1|+|PF_2|=2a,|F_1F_2|=2c,所以 PF1PF2=2a22c21+cosθ=2b21+cosθ|PF_1||PF_2|=\frac{2a^2-2c^2}{1+\cos\theta}=\frac{2b^2}{1+\cos\theta}

    又因为 sinθ1+cosθ=2sinθ2cosθ21+(2cos2θ21)=sinθ2cosθ2=tanθ2\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\frac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{1+(2\cos^2\frac{\theta}{2}-1)}=\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}=\tan\frac{\theta}{2}

    因此 S=12PF1PF2sinθ=b2sinθ1+cosθ=b2tanθ2S=\frac{1}{2}|PF_1||PF_2|\sin\theta=\frac{b^2\sin\theta}{1+\cos\theta}=b^2\tan\frac{\theta}{2}

  3. PF1PF2(b2,a2]|PF_1|\cdot|PF_2|\in (b^2,a^2]

  4. PF1F2=α,PF2F1=β\angle PF_1F_2=\alpha,PF_2F_1=\beta,则 e=sin(α+β)sinα+sinβ=cosα+β2cosαβ2\displaystyle\boxed{e=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha+\sin\beta}}=\frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}} ( 证明:正弦定理 )

  5. 若焦点三角形内切圆的圆心为 II,延长 PIPIF1F2F_1F_2 于点 QQ,则 PIIQ=PF1F1Q=PF2F2Q=PF1+PF2F1Q+F2Q=2a2c=1e\frac{|PI|}{|IQ|}=\frac{|PF_1|}{|F_1Q|}=\frac{|PF_2|}{|F_2Q|}=\frac{|PF_1|+|PF_2|}{|F_1Q|+|F_2Q|}=\frac{2a}{2c}=\frac{1}{e}

椭圆的其它几何性质

  • 通径:过椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 的焦点作垂直于长轴的直线,该直线被椭圆截得的弦叫做通径,其长度为 2b2a\frac{2b^2}{a}

  • 焦点弦( 过焦点的弦 ):设 ABAB 是过椭圆 x2a2+y2b2=1 (a>b>0)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0) 的右焦点 FF的一条弦,A(x1,y1),B(x2,y2),ABA(x_1,y_1),B(x_2,y_2),AB 的倾斜角为 θ\theta,准线 l:x=a2cl:x=\frac{a^2}{c},则 AFBF=1ecosθ1+ecosθ,AB=2a(1e2)1e2cos2θ\boxed{\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{1-e\cos\theta}{1+e\cos\theta},|AB|=\frac{2a(1-e^2)}{1-e^2\cos^2\theta}}

    证明:过 AAAA1ABAA_1\perp AB 于点 A1A_1,则 AF=eAA1=e(a2ccAFcosθ)    AF=b2a+ccosθ|AF|=e|AA_1|=e(\frac{a^2}{c}-c-|AF|\cos\theta)\implies|AF|=\frac{b^2}{a+c\cos\theta}

    同理 BF=b2accosθ|BF|=\frac{b^2}{a-c\cos\theta},代入得证。

    注:一条过焦点的直线会有两个一长一短的焦半径,在公式中,长的对应取减号,短的对应取加号;当焦点在 yy 轴上,将 cosθ\cos\theta 换为 sinθ\sin\theta

  • 弦长公式:设直线 y=kx+my=kx+m 与椭圆有两个公共点 M(x1,y1),N(x2y2)M(x_1,y_1),N(x_2y_2),则弦长公式 MN=(1+k2)[(x1+x2)24x1x2]=(1+1k2)[(y1+y2)24y1y2]\\ |MN|=\sqrt{(1+k^2)[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]}=\sqrt{(1+\frac{1}{k^2})[(y_1+y_2)^2-4y_1y_2]}

  • 中点弦问题:求直线 ABAB 与圆锥曲线相交弦的中点 MM 和原点的连线 OMOM 的斜率问题,\\kABkOM=b2a2=e21\boxed{k_{AB}\cdot k_{OM}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1} ( 若焦点在 yy 轴,则 kABkOM=a2b2k_{AB}\cdot k_{OM}=-\frac{a^2}{b^2}

    证明:联立 x2a2+y2b2=1 (a>b>0)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)y=kABx+my=k_{AB}x+m

    (b2+a2kAB2)x2+2mkABa2x+a2m2a2b2=0(b^2+a^2k_{AB}^2)x^2+2mk_{AB}a^2x+a^2m^2-a^2b^2=0

    所以 x1+x2=2mkABa2b2+a2kAB2,Mx=x1+x22=mkABa2b2+a2kAB2,m=b2+a2kAB2kABa2Mxx_1+x_2=\frac{-2mk_{AB}a^2}{b^2+a^2k_{AB}^2},M_x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-mk_{AB}a^2}{b^2+a^2k_{AB}^2},m=\frac{b^2+a^2k_{AB}^2}{-k_{AB}a^2}M_x

    代入 y=kABx+my=k_{AB}x+my=b2kABa2x    kABkOM=b2a2y=-\frac{b^2}{k_{AB}a^2}x\implies k_{AB}\cdot k_{OM}=-\frac{b^2}{a^2}

    例题:过椭圆 x216+y24=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1 内一点 P(3,1)P(3,1),且被这点平分的弦所在的直线方程是 ?

    方法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2)    x1216+y124=1,x2216+y224=1A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\implies \frac{x_1^2}{16}+\frac{y_1^2}{4}=1,\frac{x_2^2}{16}+\frac{y_2^2}{4}=1,两式相减得 (x1+x2)(x1x2)16+(y1+y2)(y1y2)4=0\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{16}+\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{4}=0

    PPABAB 中点     x1+x2=6,y1+y2=2    kAB=y1y2x1x2=34\implies x_1+x_2=6,y_1+y_2=2 \implies k_{AB}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{3}{4}

    所以直线 ABAB 的方程是 3x+4y13=03x+4y-13=0

    方法二:设弦为 AB,kOP=13,kAB=b2a2÷13=34AB,k_{OP}=\frac{1}{3},k_{AB}=-\frac{b^2}{a^2}\div\frac{1}{3}=-\frac{3}{4},后同方法一

  • 中点弦问题的推广:椭圆上的点 PP 与过椭圆中心的弦 ABAB 的端点的连线 MA,MBMA,MB 斜率之积为 b2a2=e21\boxed{-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1}

    证明:作中位线 OTOT,易证 kMAkMB=kMAkOT=b2a2=e21k_{MA}\cdot k_{MB}=k_{MA}\cdot k_{OT}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1

  • 蒙日圆:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,且圆半径的平方等于长半轴、短半轴平方和

好题

  1. 设直线 l:y=x+1l:y=x+1 与椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 相交于 A,BA,B 两点,与 xx 轴相交于左焦点 FF,且 AF=3FB\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB},则椭圆的离心率 e=e= _______

答案:22\frac{\sqrt{2}}{2}

解析:方法一:由题得 F(1,0),c=1F(-1,0),c=1,设 A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),联立 y=x+1y=x+1 与椭圆方程 b2x2+a2y2=a2b2b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2

(a2+b2)y22b2y+b2a2b2=0(a^2+b^2)y^2-2b^2y+b^2-a^2b^2=0,显然 Δ>0,y1+y2=2b2a2+b2,y1y2=b2a2b2a2+b2 \Delta>0,y_1+y_2=\frac{2b^2}{a^2+b^2},y_1y_2=\frac{b^2-a^2b^2}{a^2+b^2}\ \circledast

AF=3FB\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}0y1=3(y20)0-y_1=3(y_2-0)y1=3y2 y_1=-3y_2\ \circledcirc

\circledast \circledcirc 消去 y1,y2y_1,y_23b2=(a2+b2)(1a2)a2b2=c2=1a43a2+1=0    a=±2 or ±1-3b^2=(a^2+b^2)(1-a^2)\xRightarrow{a^2-b^2=c^2=1}a^4-3a^2+1=0\implies a=\pm\sqrt{2}\ \text{or}\ \pm 1

a=2a=\sqrt{2},所以 e=ca=22e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}

方法二:注意上述关于焦点弦的结论,AFBF=1ecosθ1+ecosθ=3\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{1-e\cos\theta}{1+e\cos\theta}=3,代入 cosθ=22\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2} 可得 e=22e=\frac{\sqrt{2}}{2}


  1. 已知椭圆 x24+y2=1\frac{x^2}{4}+y^2=1,直线 l:y=kx+ml:y=kx+m 满足 m2km\neq -2k 且与椭圆相交于不同的两点 A,BA,B,若以线段 ABAB 为直径的圆始终过点 Q(2,0)Q(2,0),试判断直线 ll 是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由。

解:设 A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),联立 {y=kx+mx24+y2=1\begin{cases} y=kx+m \\ \frac{x^2}{4}+y^2=1 \end{cases}(1+4k2)x2+8kmx+4m24=0,Δ=16(4k2m+1)>0(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0,\Delta=16(4k^2-m+1)>0

x1+x2=8km1+4k2,x1x2=4m241+4k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m24k21+4k2x_1+x_2=\frac{-8km}{1+4k^2},x_1x_2=\frac{4m^2-4}{1+4k^2},y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=\frac{m^2-4k^2}{1+4k^2}

因为以线段 ABAB 为直径的圆过点 QQ,所以 QBQA=0\overrightarrow{QB}\cdot\overrightarrow{QA}=0,又 QB=(x22,y2),QA=(x12,y1)\overrightarrow{QB}=(x_2-2,y_2),\overrightarrow{QA}=(x_1-2,y_1)

所以 QBQA=x1x22(x1+x2)+4+y1y2=(6k+5m)(2k+m)1+4k2=0\overrightarrow{QB}\cdot\overrightarrow{QA}=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4+y_1y_2=\frac{(6k+5m)(2k+m)}{1+4k^2}=0

显然 m=65k    l:y=kx65k=k(x65)m=-\frac{6}{5}k\implies l:y=kx-\frac{6}{5}k=k(x-\frac{6}{5}),恒过定点 (65,0)(\frac{6}{5},0)

双曲线

  • 概念:平面内到两个焦点 F1,F2F_1,F_2 的距离的差等于非零常数( 小于 F1F2|F_1F_2| )的点的轨迹叫做双曲线

双曲线就是下列点的集合 P=\set{M|||MF_1|-|MF_2||=2a}F1F2=2c>2a|F_1F_2|=2c>2a

标准方程 x2a2y2b2=1(a>0,b>0)\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\\ 焦点在 xx 轴上 y2a2x2b2=1(a>0,b>0)\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0,b>0) 焦点在 yy 轴上
顶点坐标 (±a,0)(\pm a,0) (0,±a)(0,\pm a)
焦点坐标 (±c,0)(\pm c,0) (0,±c)(0,\pm c)
渐近线方程 y=±baxy=\pm\frac{b}{a}x y=±abxy=\pm\frac{a}{b}x
  • c2=a2+b2\boxed{c^2=a^2+b^2},离心率 e=ca (e>1)\boxed{e=\frac{c}{a}}\ (e>1)

实轴长 =2a=2a 虚轴长 =2b=2b

等轴双曲线:a=ba=b 的双曲线

ee 越大,双曲线开口越大

一般方程:Ax2+By2=1(AB<0)Ax^2+By^2=1(AB<0)

双曲线与它的渐近线无限接近但永不相交,求渐近线方程时,只要令 x2a2y2b2=0\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0 即可

第二定义:平面内动点 MM 到定点 FF 的距离和它到准线 l:x=±a2cl:x=\pm\frac{a^2}{c} 的距离之比等于 ee

  • 与两定点 A1(a,0),A2(a,0)(a0)A_1(-a,0),A_2(a,0)(a\neq 0) 连线的斜率之积为 b2a2=e21\frac{b^2}{a^2}=e^2-1 的点的轨迹为双曲线

双曲线焦点三角形的性质

双曲线 x2a2y2b2=1 (a>0,b>0)\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0) 上异于顶点的点 P(x0,y0)P(x_0,y_0) 与两焦点构成的 ΔPF1F2\Delta PF_1F_2 叫做焦点三角形。

以下记 F1PF2=θ\angle F_1PF_2=\theta

  1. 面积 S=b2tanθ2=cy0\boxed{S=\frac{b^2}{\tan\frac{\theta}{2}}=c|y_0|}

  2. PF1F2=α,PF2F1=β,P\angle PF_1F_2=\alpha,\angle PF_2F_1=\beta,P 为双曲线右支上一点,则 PF1sinβ=PF2sinα=PF1PF2sinβsinα=2asinβsinα=F1F2sin(α+β)=2csinθ\frac{|PF_1|}{\sin\beta}=\frac{|PF_2|}{\sin\alpha}=\frac{|PF_1|-|PF_2|}{\sin\beta-\sin\alpha}=\frac{2a}{\sin\beta-\sin\alpha}=\frac{|F_1F_2|}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{2c}{\sin\theta},所以 e=sin(α+β)sinβsinα\boxed{e=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta-\sin\alpha}}

  3. 若焦点三角形内切圆的圆心为 I(x1,y1)I(x_1,y_1),与三边的切点分别为 M,N,RM,N,R,则 F1RF2R=F1MF2N=PF1PF2=2a|F_1R|-|F_2R|=|F_1M|-|F_2N|=|PF_1|-|PF_2|=2a,即 c+x1(cx1)=2ac+x_1-(c-x_1)=2a,解得 x1=ax_1=a

双曲线的其它几何性质

  • 通径:过双曲线 x2a2y2b2=1 (a>0,b>0)\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0) 的焦点作垂直于实轴所在的直线,该直线被双曲线截得的弦叫做通径,长度为 2b2a\frac{2b^2}{a}

  • 弦长公式:设直线 y=kx+my=kx+m 与双曲线有两个公共点 M(x1,y1),N(x2,y2)M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),则 MN=(1+k2)[(x1+x2)24x1x2]=(1+1k2)[(y1+y2)24y1y2]|MN|=\sqrt{(1+k^2)[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]}=\sqrt{(1+\frac{1}{k^2})[(y_1+y_2)^2-4y_1y_2]}

  • 焦半径:双曲线一点 P(x0,y0)P(x_0,y_0) 与左( 下 )焦点 F1F_1或右( 上 )焦点 F2F_2 之间的线段叫做双曲线的焦半径,分别记作 r1=PF1,r2=PF2r_1=|PF_1|,r_2=|PF_2|

    1. x2a2y2b2=1 (a>0,b>0)\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0),若点 PP 在双曲线右支上,则 r1=ex0+a,r2=ex0ar_1=ex_0+a,r_2=ex_0-a;若点 PP 在双曲线左支上,则 r1=ex0a,r2=ex0+ar_1=-ex_0-a,r_2=-ex_0+a
    2. y2a2x2b2=1 (a>0,b>0)\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0),若点 PP 在双曲线上支上,则 r1=ey0+a,r2=ey0ar_1=ey_0+a,r_2=ey_0-a;若点 PP 在双曲线下支上,则 r1=ey0a,r2=ey0+ar_1=-ey_0-a,r_2=-ey_0+a

好题

  1. 若双曲线的一条渐近线过点 (8,6)(8,-6),则其离心率等于____

22 种情况讨论,焦点在 xx 轴上( ba=34   e=54\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\ \ \ e=\frac{5}{4} ),在 yy 轴上( ab=34   e=53\frac{a}{b}=\frac{3}{4}\ \ \ e=\frac{5}{3}


  1. 动圆 MM 与圆 C1:(x+4)2+y2=1C_1:(x+4)^2+y^2=1,圆 C2:(x4)2+y2=9C_2:(x-4)^2+y^2=9 都外切,则动圆圆心 MM 的轨迹方程为____

解:圆 C1(4,0),r1=1,C2(4,0),r2=3C_1(-4,0),r_1=1,C_2(4,0),r_2=3,设 M(x,y)M(x,y),半径为 rr,则 {MC1=r+1MC2=r+3\begin{cases} |MC_1|=r+1 \\ |MC_2|=r+3 \end{cases}

MC2MC1=2<C1C2|MC_2|-|MC_1|=2<|C_1C_2|,所以 MM 的轨迹为以 C1,C2C_1,C_2 为焦点,2a=22a=2 的双曲线的左支b=15b=\sqrt{15}

所以 MM 的轨迹方程为 x2y215=1 (x1)x^2-\frac{y^2}{15}=1\ (x\leq -1)


  1. 是否存在过点 P(1,12)P(1,-\frac{1}{2}) 的直线 ll 与双曲线 x22y2=1\frac{x^2}{2}-y^2=1 相交于 A,BA,B 两点,且满足 PP 是线段 ABAB 的中点?若存在,求出直线 ll 的方程;若不存在,请说明理由。

点差法 )解:设 l:y=k(x1)12,A(x1,y1),B(x2,y2)l:y=k(x-1)-\frac{1}{2},A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则 {x122y12=1x222y22=1\begin{cases} \frac{x_1^2}{2}-y_1^2=1 \\ \frac{x_2^2}{2}-y_2^2=1 \end{cases}

两式相减得 (x1x2)(x1+x2)=2(y1y2)(y1+y2)(x_1-x_2)(x_1+x_2)=2(y_1-y_2)(y_1+y_2),因为 P(1,12)P(1,-\frac{1}{2}) 为线段 ABAB 的中点,则

x1+x2=2,y1+y2=1,k=y1y2x1x2=x1+x22(y1+y2)=1    l:y=x+12x_1+x_2=2,y_1+y_2=-1,k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{x_1+x_2}{2(y_1+y_2)}=-1\implies l:y=-x+\frac{1}{2}

联立 {y=x+12x22y2=1\begin{cases} y=-x+\frac{1}{2} \\ \frac{x^2}{2}-y^2=1 \end{cases} 消去 yy 可得 2x24x+5=0,Δ<02x^2-4x+5=0,\Delta<0,方程无实根,故 ll 不存在


  1. [ 安徽十校联盟 2023 期中 ] 已知双曲线 C:x2a2y2b2=1 (a>0,b>0)C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2F_1,F_2,焦距为 44,点 MM 在圆 E:x2+y2+4x8y+16=0E:x^2+y^2+4x-8y+16=0 上,且 CC 的一条渐近线上存在点 NN,使得四边形 OMNF2OMNF_2 为平行四边形,OO 为坐标原点,则 CC 的离心率的取值范围为( )

    A.[2,+)      B.[3,+)      C.[4,+)      D.(1,3)\text{A.} [2,+\infty)\ \ \ \ \ \ \text{B.} [\sqrt{3},+\infty)\ \ \ \ \ \ \text{C.} [4,+\infty)\ \ \ \ \ \ \text{D.} (1,\sqrt{3})

    答案:A\text{A}


  1. 已知直线 y=ax+1y=ax+1 与双曲线 3x2y2=13x^2-y^2=1 交于 A,BA,B 两点。

    (1)(1) 若以 ABAB 为直径的圆过坐标原点 OO,求实数 aa 的值

    (2)(2) 是否存在这样的实数 aa,使 A,BA,B 两点关于直线 y=12xy=\frac{1}{2}x 对称?若存在,请求出 aa 的值;若不存在,请说明理由

解:(1)(1) 联立 {y=ax+13x2y2=1\begin{cases} y=ax+1\\ 3x^2-y^2=1 \end{cases} 消去 yy(3a2)x22ax2=0(3-a^2)x^2-2ax-2=0,依题意 {3a20Δ>0\begin{cases} 3-a^2\neq 0\\ \Delta >0 \end{cases}\\
             \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{}解得 6<a<6-\sqrt{6}<a<\sqrt{6}a±3a\neq\pm\sqrt{3},设 A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则 {x1+x2=2a3a2x1x2=23a2\begin{cases} x_1+x_2=\frac{2a}{3-a^2} \\ x_1x_2=\frac{-2}{3-a^2} \end{cases}

             \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \becauseABAB 为直径的圆过坐标原点 O     OAOB, OAOB=x1x2+y1y2=0      y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1O\ \ \ \ \ \therefore OA\perp OB,\ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=0\ \ \ \ \ \ \because y_1y_2=a^2x_1x_2+a(x_1+x_2)+1

             x1x2+y1y2=(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=(a2+1)23a2+2a23a2+1=0    a=±1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore x_1x_2+y_1y_2=(a^2+1)x_1x_2+a(x_1+x_2)+1=(a^2+1)\cdot\frac{-2}{3-a^2}+\frac{2a^2}{3-a^2}+1=0\implies a=\pm 1

       (2)\ \ \ \ \ \ \ (2) 假设存在实数 aa,使 A,BA,B 两点关于直线 y=12xy=\frac{1}{2}x 对称,则 a=2a=-2 检验后可排除,故 aa 不存在

抛物线

  • 概念:平面内与一个定点 FF 和一条定直线 ll( 不经过点 FF )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
标准方程 y2=2px (p>0)y^2=2px\ (p>0) y2=2px (p>0)y^2=-2px\ (p>0) x2=2px (p>0)x^2=2px\ (p>0) x2=2px (p>0)x^2=-2px\ (p>0)
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦点坐标 (p2,0)(\frac{p}{2},0) (p2,0)(-\frac{p}{2},0) (0,p2)(0,\frac{p}{2}) (0,p2)(0,-\frac{p}{2})
准线 x=p2x=-\frac{p}{2} x=p2x=\frac{p}{2} y=p2y=-\frac{p}{2} y=p2y=\frac{p}{2}

抛物线的离心率 e=1e=1

通径:过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线,交抛物线于 ABAB,线段 ABAB 就是抛物线的通径,长为 2p2p,是所有过焦点的弦中最短的

抛物线焦点弦的性质

ABAB 为过抛物线 y2=2px (p>0)y^2=2px\ (p>0) 的焦点 F(p2,0)F(\frac{p}{2},0) 的弦,点 A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) 在准线上的射影分别为点 A1(p2,y1),B1(p2,y2)A_1(-\frac{p}{2},y_1),B_1(-\frac{p}{2},y_2)

  1. AF=AA1=x1+p2,BF=BB1=x2+p2,AB=x1+x2+p|AF|=|AA_1|=x_1+\frac{p}{2},|BF|=|BB_1|=x_2+\frac{p}{2},|AB|=x_1+x_2+p

  2. x1x2=p24,y1y2=p2x_1x_2=\frac{p^2}{4},y_1y_2=-p^2

证明:当直线 ABAB 的斜率存在时,设 AB:y=k(xp2),k0AB:y=k(x-\frac{p}{2}),k\neq 0,联立抛物线方程和直线方程得 y22pkyp2=0y^2-\frac{2p}{k}y-p^2=0

易知 Δ>0\Delta>0,所以 y1y2=p2,x1x2=y122py222p=p24y_1y_2=-p^2,x_1x_2=\frac{y_1^2}{2p}\frac{y_2^2}{2p}=\frac{p^2}{4},同理可证直线 ABAB 的斜率不存在时,命题也成立。

  1. AB|AB| 为直径的圆与抛物线的准线相切

证明:设 ABAB 中点为 DDDD 到准线的距离为 dd,则 d=AA1+BB12=AB2d=\frac{|AA_1|+|BB_1|}{2}=\frac{|AB|}{2},原命题得证。

  1. AF|AF| 为直径的圆与 yy 轴相切

  2. 1AF+1BF=2p\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}

证明:当直线 ABAB 的斜率存在时,1AF+1BF=1AA1+1BB1=1x+p2+1x2+p2=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=x1+x2+pp24+p2(x1+x2)+p24=2p\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{1}{|AA_1|}+\frac{1}{|BB_1|}=\frac{1}{x+\frac{p}{2}}+\frac{1}{x_2+\frac{p}{2}}=\frac{x_1+x_2+p}{x_1x_2+\frac{p}{2}(x_1+x_2)+\frac{p^2}{4}}=\frac{x_1+x_2+p}{\frac{p^2}{4}+\frac{p}{2}(x_1+x_2)+\frac{p^2}{4}}=\frac{2}{p}

同理可证直线 ABAB 的斜率不存在时,命题也成立。

  1. 若直线 ABAB 的倾斜角为 α\alpha,则 AB=2psin2α|AB|=\frac{2p}{\sin^2\alpha}

证明:当直线 ABAB 的斜率存在时,设 AB:y=k(xp2),k0AB:y=k(x-\frac{p}{2}),k\neq 0,由 {y=k(xp2)y2=2px\begin{cases} y=k(x-\frac{p}{2}) \\ y^2=2px\end{cases}ky22pykp2=0ky^2-2py-kp^2=0

易知 Δ>0,y1+y2=2pk,y1y2=p2,AB=(1+1k2)[(y1+y2)24y1y2]=1+1k22p1+k2k=2p(1+k2)k2=2p(1+tan2α)tan2α=2psin2α\Delta>0,y_1+y_2=\frac{2p}{k},y_1y_2=-p^2,|AB|=\sqrt{(1+\frac{1}{k^2})[(y_1+y_2)^2-4y_1y_2]}=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot\frac{2p\sqrt{1+k^2}}{|k|}=\frac{2p(1+k^2)}{k^2}=\frac{2p(1+\tan^2\alpha)}{\tan^2\alpha}=\frac{2p}{\sin^2\alpha}

当直线 ABAB 的斜率不存在时,AB=2p=2psin290°|AB|=2p=\frac{2p}{\sin^2 90\degree},命题也成立

推广:AF=p1cosα,BF=p1+cosα|AF|=\frac{p}{1-\cos\alpha},|BF|=\frac{p}{1+\cos\alpha}OOABAB 的距离 =psinα2,SΔAOB=p22sinθ=\frac{p\sin\alpha}{2},S_{\Delta AOB}=\frac{p^2}{2\sin\theta}

注:若抛物线为 x2=±2pyx^2=\pm 2py,将上述 cos\cos 换为 sin\sinsin\sin 换为 cos\cos

  1. A,O,B1A,O,B_1 三点共线,A1,O,BA_1,O,B 三点共线

AB:x=my+p2AB:x=my+\frac{p}{2} 即可通过斜率相等证明

  1. A1FB1FA_1F\perp B_1F

好题

  1. 过点 Q(4,1)Q(4,1) 作抛物线 y2=8xy^2=8x 的弦 ABAB,恰被点 QQ 平分,则弦 ABAB 所在直线的方程为_____

点差法 )解:设 A(x1y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则 {y12=8x1(1)y22=8x2(2)\begin{cases} y_1^2=8x_1 (1) \\ y_2^2=8x_2 (2)\end{cases},因为 Q(4,1)Q(4,1)ABAB 中点,所以 {x1+x2=8y1+y2=2(3)\begin{cases} x_1+x_2=8 \\ y_1+y_2=2 \end{cases}(3)

(1)(2)(1)-(2)(y1+y2)(y1y2)=8(x1x2)   (y_1+y_2)(y_1-y_2)=8(x_1-x_2)\ \ \ \text{}(3)(3) 代入得 y1y2x1x2=4\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=4,所以 AB:y=4x15AB:y=4x-15


  1. 已知抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点为 FF,直线 ll 过焦点 FFCC 交于 A,BA,B 两点,以 ABAB 为直径的圆与 yy 轴交于 D,ED,E 两点,且 DE=45AB|DE|=\frac{4}{5}|AB|,则直线 ll 的方程为_____

解:设 AB=2r(2r4)|AB|=2r(2r\geq 4)ABAB 的中点为 MM,作 MNyMN\perp y 轴于点 NN,过 A,BA,B 分别作准线 l:x=1l:x=-1 的垂线,垂足为 A1,B1A_1,B_1

显然 2(MN+1)=AA1+BB1=AF+BF=AB=2r2(|MN|+1)=|AA_1|+|BB_1|=|AF|+|BF|=|AB|=2r,所以 MN=r1,DE=2r2(r1)2=85r|MN|=r-1,|DE|=2\sqrt{r^2-(r-1)^2}=\frac{8}{5}r

解得 r=52 or 58r=\frac{5}{2}\ \text{or}\ \frac{5}{8}( 舍 ),所以 Mx=32   M_x=\frac{3}{2}\ \ \ \text{} 设直线 l:y=k(x1),A(x1,y1),B(x2,y2)l:y=k(x-1),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)

联立 {y=k(x1)y2=4x\begin{cases} y=k(x-1) \\ y^2=4x\end{cases}k2x2(2k2+4)x+k2=0    x1+x2=2k2+4k2=3k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0\implies x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}=3,解得 k=±2k=\pm 2

故直线 ll 的方程为 2x±y2=02x\pm y-2=0


  1. ( 多选 )已知点 FF 是抛物线 y2=2px (p>0)y^2=2px\ (p>0) 的焦点,AB,CDAB,CD 是经过点 FF 的弦,且 ABCDAB\perp CD,直线 ABAB 的斜率为 kkk>0k>0A,CA,C 两点在 xx 轴上方,以下一定成立的有( )

    A. 1AB+1CD=12p                B.\text{A.}\ \frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\frac{1}{2p}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{B.}AFBF=43p2|AF|\cdot|BF|=\frac{4}{3}p^2,则 k=33k=\frac{\sqrt{3}}{3}

    C. OAOB=OCOD        D.\text{C.}\ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}\ \ \ \ \ \ \ \ \text{D.} 四边形 ACBDACBD 面积的最小值为 16p216p^2

答案:AC\text{AC}

解析:A.\text{A.} 由题得 kCD=1kk_{CD}=-\frac{1}{k},设 AB:y=k(xp2)AB:y=k(x-\frac{p}{2}),联立 {y=k(xp2)y2=2px\begin{cases} y=k(x-\frac{p}{2}) \\ y^2=2px\end{cases}

              \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{} k2x2p(k2+2)x+14k2p2=0    x1+x2=p(k2+2)k2,x1x2=14p2    AB=x1+x2+p=2p(k2+1)k2k^2x^2-p(k^2+2)x+\frac{1}{4}k^2p^2=0\implies x_1+x_2=\frac{p(k^2+2)}{k^2},x_1x_2=\frac{1}{4}p^2\implies |AB|=x_1+x_2+p=\frac{2p(k^2+1)}{k^2}

              \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{} 同理 CD=2p(1+k2)|CD|=2p(1+k^2),则有 1AB+1CD=12p\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\frac{1}{2p}

         \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{} B.\text{B.} AFBF=(x1+p2)(x2+p2)=p2+p2k2=43p2    k=3|AF|\cdot|BF|=(x_1+\frac{p}{2})(x_2+\frac{p}{2})=p^2+\frac{p^2}{k^2}=\frac{4}{3}p^2\implies k=\sqrt{3}

         \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{} C.\text{C.} OAOB=x1x2+y1y2=14p2+k2(x1p2)(x2p2)=34p2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=\frac{1}{4}p^2+k^2(x_1-\frac{p}{2})(x_2-\frac{p}{2})=-\frac{3}{4}p^2,与 kk 无关,同理 OCOD=34p2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=-\frac{3}{4}p^2

         \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{} D.\text{D.} 因为 ABCDAB\perp CD 所以 S=12ABCD=122p(k2+1)k22p(1+k2)=2p2(k2+1k2+2)8p2S=\frac{1}{2}|AB|\cdot|CD|=\frac{1}{2}\frac{2p(k^2+1)}{k^2}\cdot 2p(1+k^2)=2p^2(k^2+\frac{1}{k^2}+2)\geq 8p^2 当且仅当 k=1k=1 取等

统计

简单随机抽样:1.1. 个体数有限 2.2. 逐个抽取 3.3. 被抽到的概率相等

例:1010 个个体里抽一个容量为 nn 的样本,某个个体 AA 第一次被抽到的可能性为 ?第二次被抽到的可能性为 ?

第一次:110\frac{1}{10} 第二次:910×19=110\frac{9}{10}\times\frac{1}{9}=\frac{1}{10}

随机数表题:范围 [0,39][0,39],有以下随机数表,从第 11 行第 33 列开始,选出的数依次为 36,33,26,16,11,14,1036,33,26,16,11,14,10

03470347 43734373 86368636 96479647 36613661 46984698
63716371 62336233 26162616 80458045 60116011 14101410

总体平均数:xˉ=1ni=1nxi  \bar{x}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i\ \ \text{} 中位数:{xn2x mod 21xn2+xn2+12x mod 20  \begin{cases}x_{\lceil\frac{n}{2}\rceil} & x\ \mathrm{mod}\ 2\equiv 1 \\ \frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2} & x\ \mathrm{mod}\ 2\equiv 0\end{cases}\ \ \text{} 众数:出现次数最多的数据,不一定唯一,也不一定有众数。

极差:\max{\set{x_i}}-\min{\set{x_i}}\ \ \ \ \text{} 标准差:s=1ni=1n(xixˉ)2s=\sqrt{\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}

s2=1ni=1n(xixˉ)2=1ni=1n(xi22xixˉ+xˉ2)=1ni=1nxi21ni=1n2xixˉ+1ni=1nxˉ2=1ni=1nxi22xˉ2+xˉ2=1ni=1nxi2xˉ2\begin{aligned}方差:s^2&=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i^2-2x_i\bar{x}+\bar{x}^2)=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}2x_i\bar{x}+\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2\\&=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\bar{x}^2+\bar{x}^2=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\bar{x}^2\end{aligned}

若采用分层随机抽样,分 nn 层,样本数 m1,m2,,mnm_1,m_2,\dots,m_n,平均值 x1,x2,,xnx_1,x_2,\dots,x_n\\ 则样本平均数 xˉ=i=1nmixij=1nmj\bar{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}m_j},注意样本平均数 \neq 总体平均数。

分层随机抽样需按比例分配: m  n = m  n \frac{总体中第\ m\ 层个体数}{总体中第\ n\ 层个体数}=\frac{样本中第\ m\ 层个体数}{样本中第\ n\ 层个体数} m  m =\frac{样本中第\ m\ 层个体数}{总体中第\ m\ 层个体数}=\frac{样本容量}{总体容量}

pp 百分位数:数据中至少有 p%p\% 的数据 \leq 这个值,至少有 (100p)%(100-p)\% 的数 \geq 这个值。

2525 百分位数:第一四分位数 / 下四分位数;第 7575 百分位数:第三四分位数 / 上四分位数;第 5050 百分位数:中位数。

已知数据求第 pp 百分位数:1. 从小到大排序,令 i=n×p%i=n\times p\% 2. {ans=ai+ai+12i=ians=aiii\begin{cases}\text{ans}=\frac{a_i+a_{i+1}}{2} & \lfloor i \rfloor = i \\ \text{ans}=a_{\lceil i \rceil} & \lfloor i \rfloor \neq i \end{cases}

格式要求:{[a,b)<x%[a,c)>x%    \begin{cases}[a,b) 的频率 <x\% \\ [a,c)的频率>x\%\end{cases}\impliesxx 百分位数在 [b,c)[b,c)

nn 层构成样本的方差:s2=i=1nwi[si2+(xˉixˉ)2]s^2=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}w_i[s_i^2+(\bar{x}_i-\bar{x})^2],其中 xˉi\bar{x}_i 为样本中不同层的平均数,si2s_i^2 为不同层的方差,wiw_i 为相应的权重( 该层样本数占总样本的多少,wi<1w_i<1

特别地,只有 22 层时,若:

11 mm 个数 xˉ\bar x s2s^2
22 nn 个数 yˉ\bar y t2t^2

则总平均数 aˉ=mxˉ+nyˉm+n\displaystyle\bar a=\frac{m\bar x+n\bar y}{m+n},总方差 b2=ms2+nt2+m(xˉaˉ)2+n(yˉaˉ)2m+n\displaystyle b^2=\frac{ms^2+nt^2+m(\bar x-\bar a)^2+n(\bar y-\bar a)^2}{m+n}

若数据 x1,x2,,xnx_1,x_2,\dots,x_n 的平均数 xˉ\bar x,方差 s2s^2,标准差 ss,则数据 mx1+a,mx2+a,,mxn+amx_1+a,mx_2+a,\dots,mx_n+a 的平均数 mxˉ+am\bar{x}+a,方差 s2m2s^2m^2,标准差 smsm

线性回归问题的一般步骤:

  1. 列表 + 画散点图

    xx x1x_1 x2x_2 \dots xnx_n
    yy y1y_1 y2y_2 \dots yny_n
  2. 通过公式求 b^,a^\hat b,\hat a

[\hat b=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}{n} x_iy_i-n\bar x\bar y}{\displaystyle\sum_{i=1}{n}x_i2-n\bar x^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \hat a=\bar y-\hat b\bar x]

  1. 根据直线方程一定过 xˉ,yˉ\bar x,\bar y 得出 y^=b^x+a^\hat y=\hat bx+\hat a

如果散点均匀分布在回归直线的两侧,那么回归效果就好

如果 b^>0\hat b > 0 则两变量正相关,反之则负相关,也可利用样本相关系数 rr 来判断

1r1,r-1\leq r\leq 1,|r| 越接近 11,回归效果越好;r>0r>0 则正相关,r<0r<0 则负相关

[r=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)2\sum_{i=1}{n}(y_i-\bar y)2}}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}{n} x_iy_i-n\bar x\bar y}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}{n}x_i2-n\bar x2}\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}{n}y_i^2-n\bar y^2}}]

非线性回归方程:转化为线性回归方程

  1. 幂函数型:y=c1xn+c2 (ny=c_1x^{n}+c_2\ (n 一般为 12\frac{1}{2}2)2)

    变换:令 t=xn,b=c1,a=c2t=x^n,b=c_1,a=c_2,则 y=bt+ay=bt+a

  2. 指数型:y=c1ec2xy=c_1e^{c_2x}

    变换:两边取对数并令 z=lny,a=lnc1,b=c2z=\ln y,a=\ln c_1,b=c_2,则 z=bx+az=bx+a

变换后,需转化原函数关系,一般用相关指数来看拟合效果的强弱。( 注:非线性的不能用相关系数 rr

概率

基本概念

  • 随机试验:对随机现象的实现和观察,用 EE 表示

  • 样本点:EE 的每个可能的基本结果,用 ω\omega 表示

  • 样本空间:全体 ω\omega 的集合,用 Ω\Omega 表示

  • 有限样本空间:若一个随机试验有 nn 个可能结果 ω1,ω2,,ωn\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n,则称样本空间 \Omega=\set{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n} 为有限样本空间 \\( 即 Ω\Omega 为有限集 )

  • 随机事件:Ω\Omega 的子集,简称事件,用大写字母 A,B,C,A,B,C,\dots 表示,当且仅当 AA 中的某个样本点出现时,称事件 AA 发生

  • 基本事件:只包含一个样本点的事件

  • 必然事件:Ω\Omega 作为自身的子集,包含了所有样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,即 Ω\Omega 总会发生

  • 不可能事件:\varnothing 不含任何样本点,在每次试验中都不会发生,必然事件与不可能事件不具有随机性

事件的关系和运算

事件的关系 含义 符号表示
包含 AA 发生     B\implies B 发生 ABA\subseteq B
并事件 / 和事件 AABB 至少一个发生 ABA\bigcup BA+BA+B
交事件 / 积事件 AABB 同时发生 ABA\bigcap BABAB
互斥 / 互不相容 AABB 不能同时发生 AB=A\bigcap B=\varnothing
互为独立 AABB 有且仅有一个发生 AB=A\bigcap B=\varnothingAB=ΩA\bigcup B=\Omega

如果 A,BA,B 互斥,记 Aˉ,Bˉ\bar{A},\bar{B} 分别为 A,BA,B 的对立事件

ABA\subseteq BBAB\subseteq A,则事件 AA 和事件 BB 相等,A=BA=B

对于三个事件 A,B,CA,B,CABCA\bigcup B\bigcup CA+B+CA+B+C 表示 A,B,CA,B,C 至少一个发生,其余同理

古典概型

  • 满足有限性( 有限样本空间 )、等可能性

  • EE 为古典概型,样本空间 Ω\Omega 包含 nn 个样本点,事件 AA 包含其中的 kk 个样本点,则事件 AA 的概率为 P(A)=kn=n(A)n(Ω)n(A),n(Ω)P(A)=\frac{k}{n}=\frac{n(A)}{n(\Omega)} \\ n(A),n(\Omega) 表示事件 AA 和样本空间 Ω\Omega 包含的样本点个数

概率的基本性质

  1. A,0P(A)1\forall A,0\leq P(A)\leq 1
  2. 必然事件 Ω\Omega 概率为 P(Ω)=1P(\Omega)=1,不可能事件 \varnothing 概率为 P()=0P(\varnothing)=0
  3. A,BA,B 互斥,则 P(AB)=P(A)+P(B)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)\\ 推广:若 A1,A2,,AmA_1,A_2,\dots,A_m 两两互斥,则 P(A1A2Am)=i=1mP(Ai)P(A_1\bigcup A_2\bigcup\dots\bigcup A_m)=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}P(A_i)
  4. A,BA,B 对立,则 P(B)=1P(A),P(A)=1P(B)P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B);若 P(A)+P(B)=1P(A)+P(B)=1,则 A,BA,B 不一定对立
  5. ABA\subseteq B,则 P(A)P(B)P(A)\leq P(B)( 概率的单调性 )
  6. A,BA,B 为随机试验中的两个事件,则 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B) ( 容斥原理 )
  7. 对任意 22 个事件 A,BA,B,若 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B),则 AABB 相互独立,记 A,BA,B 的对立事件分别为 Aˉ,Bˉ\bar{A},\bar{B} \\ 因事件 A,BA,B 的发生互不影响,则 AABˉ\bar{B}Aˉ\bar{A}BBAˉ\bar{A}Bˉ\bar{B} 也相互独立
  8. A,B,CA,B,C 两两独立,P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(ABC)\neq P(A)P(B)P(C)
事件含义 事件表示 概率 A,BA,B 互斥 A,BA,B 相互独立
AABB 至少一个发生 ABA\bigcup B P(AB)P(A\bigcup B) P(A)+P(B)P(A)+P(B) 1P(Aˉ)P(Bˉ)1-P(\bar{A})P(\bar{B})
AABB 同时发生 ABAB P(AB)P(AB) 00 P(A)P(B)P(A)P(B)
AABB 都不发生 AˉBˉ\bar{A}\bar{B} P(AˉBˉ)P(\bar{A}\bar{B}) 1[P(A)+P(B)]1-[P(A)+P(B)] P(Aˉ)P(Bˉ)P(\bar{A})P(\bar{B})
AABB 只有一个发生 ABˉ+AˉBA\bar{B}+\bar{A}B P(ABˉAˉB)P(A\bar{B}\bigcup\bar{A}B) P(A)+P(B)P(A)+P(B) P(A)P(Bˉ)+P(Aˉ)P(B)P(A)P(\bar{B})+P(\bar{A})P(B)

导数

基本初等函数的导数公式

f(x)f(x) cc xax^a axa^x logax\log_a x sinx\sin x cosx\cos x
f(x)f'(x) 00 axa1ax^{a-1} axlnaa^x\ln a 1xlna\frac{1}{x\ln a} cosx\cos x sinx-\sin x

运算法则

  • [f(x)±g(x)]=f(x)±g(x)[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)

  • [f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

  • [f(x)g(x)]=g(x)f(x)f(x)g(x)g2(x)(g(x)0)[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}(g(x)\neq 0)

  • [cf(x)]=cf(x)[cf(x)]'=cf'(x)

  • [af(x)±bg(x)]=af(x)±bg(x)[af(x)\pm bg(x)]'=af'(x)\pm bg'(x)

  • [1g(x)]=g(x)g2(x)(g(x)0)[\frac{1}{g(x)}]'=-\frac{g'(x)}{g^2(x)}(g(x)\neq 0)

  • 复合函数 y=f(g(x))y=f(g(x)) 的导数,与 y=f(u),u=g(x)y=f(u), u=g(x) 的关系:yx=yuuxy_x^{'}=y_u^{'}\cdot u_x^{'}

    yyxx 的导数等于 yyuu 的导数乘 uuxx 的导数

    例1:求 f(x)=(3x+5)3f(x)=(3x+5)^3 的导数 f(x)f'(x),可以看作 y=u3y=u^3u=3x+5u=3x+5 的复合函数

    yx=yuux=(u3)(3x+5)=3u2×3=9(3x+5)2y_x^{'}=y_u^{'}\cdot u_x^{'}=(u^3)'\cdot (3x+5)'=3u^2 \times 3 = 9(3x+5)^2

    例2:求 f(x)=e0.05x+1f(x)=e^{-0.05x+1} 的导数 f(x)=(eu)(0.05x+1)=0.05e0.05x+1f'(x)=(e^{u})'\cdot(-0.05x+1)'=-0.05e^{-0.05x+1}

    例3:求 f(x)=ln(2x1)f(x)=\ln(2x-1) 的导数 f(x)=(lnu)(2x1)=1u×2=22x1f'(x)=(\ln{u})'\cdot(2x-1)'=\frac{1}{u}\times 2=\frac{2}{2x-1}

常用三角函数值

α\alpha sinα\sin\alpha cosα\cos\alpha tanα\tan\alpha cotα\cot\alpha
$0\degree $ 00 11 00 //
$15\degree $ 624\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 232-\sqrt{3} 2+32+\sqrt{3}
$22.5\degree $ 222\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} 2+22\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} 21\sqrt{2}-1 2+1\sqrt{2}+1
$30\degree $ 12\frac{1}{2} 32\frac{\sqrt{3}}{2} 33\frac{\sqrt{3}}{3} 3\sqrt{3}
$36.87\degree $ 35\frac{3}{5} 45\frac{4}{5} 34\frac{3}{4} 43\frac{4}{3}
$45\degree $ 22\frac{\sqrt{2}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 11 11
$53.13\degree $ 45\frac{4}{5} 35\frac{3}{5} 43\frac{4}{3} 34\frac{3}{4}
$60\degree $ 32\frac{\sqrt{3}}{2} 12\frac{1}{2} 3\sqrt{3} 33\frac{\sqrt{3}}{3}
$63.43\degree $ 255\frac{2\sqrt{5}}{5} 55\frac{\sqrt{5}}{5} 22 12\frac{1}{2}
$71.57\degree $ 31010\frac{3\sqrt{10}}{10} 1010\frac{\sqrt{10}}{10} 33 13\frac{1}{3}
$75\degree $ 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 624\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 2+32+\sqrt{3} 232-\sqrt{3}
$75.96\degree $ 41717\frac{4\sqrt{17}}{17} 1717\frac{\sqrt{17}}{17} 44 14\frac{1}{4}
$90\degree $ 11 00 // 00
  • \tan x=t\ (x \in \set{x|-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z}) 时,sinx=tt2+1t2+1,cosx=t2+1t2+1\sin x=\frac{t\sqrt{t^2+1}}{t^2+1},\cos x=\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^2+1}

  • \tan x=t\ (x \in \set{x|\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z}) 时,sinx=tt2+1t2+1,cosx=t2+1t2+1\sin x=-\frac{t\sqrt{t^2+1}}{t^2+1},\cos x=-\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^2+1}

常用数表

xx lnx\ln{x} lgx\lg{x} x\sqrt{x} 2x2^x 3x3^x x2x^2 x3x^3 x!x!
13\frac{1}{3} 1.0986-1.0986 0.4771-0.4771 0.57730.5773 1.25991.2599 1.44221.4422 0.11110.1111 0.03700.0370 //
12\frac{1}{2} 0.6931-0.6931 0.3010-0.3010 0.70710.7071 1.41421.4142 1.73211.7321 0.250.25 0.1250.125 //
11 00 00 11 22 33 11 11 11
22 0.69310.6931 0.30100.3010 1.41421.4142 44 99 44 88 22
33 1.09861.0986 0.47710.4771 1.73211.7321 88 2727 99 2727 66
44 1.38621.3862 0.60210.6021 22 1616 8181 1616 6464 2424
55 1.60941.6094 0.69890.6989 2.23612.2361 3232 243243 2525 625625 120120
66 1.79171.7917 0.77810.7781 2.44952.4495 6464 729729 3636 216216 720720
77 1.94591.9459 0.84510.8451 2.64582.6458 128128 21872187 4949 343343 50405040
88 2.07942.0794 0.90310.9031 2.82842.8284 256256 65616561 6464 512512 4032040320
99 2.19722.1972 0.95420.9542 33 512512 1968319683 8181 729729 362880362880
1010 2.30252.3025 11 3.16233.1623 10241024 5904959049 100100 10001000 36288003628800

常用常数值

  • π=arccos(1)=6i=1+1i23.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510\pi=\arccos(-1)=\sqrt{6\displaystyle\sum^{+\infty}_{i=1}\frac{1}{i^2}}\approx 3.1415926535 \ 8979323846 \ 2643383279 \ 5028841971 \ 6939937510

  • $e=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(1+\frac{1}{x})x=\displaystyle\sum{+\infty}_{i=0}\frac{1}{i!}\approx 2.7182818284 \ 5904523536 \ 0287471352 \ 6624977572 \ 4709369995 $

  • 黄金数 φ=5120.6180339887 4989484820 4586834365 63811\varphi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.6180339887 \ 4989484820 \ 4586834365 \ 63811

  • 真空光速 c299792458 m/sc\approx 299792458 \ \text{m}/\text{s}

  • 重力加速度 g9.8 m/s2g\approx 9.8\ \text{m}/\text{s}^2 (纬度越高 gg 值越大)

  • 阿伏伽德罗常数 NA6.02214076×1023mol1N_A \approx 6.02214076 \times 10^{23}\text{mol}^{-1}

  • 引力常量 G6.67×1011m3kg1s2G\approx 6.67\times 10^{-11}\text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}

  • 标准状况 STP(0°C,101.325kPa0\degree \text{C},101.325\text{kPa})下 1mol1\text{mol} 气体所占的体积约为 22.414L22.414\text{L}

  • 25°C,101.325kPa25\degree \text{C},101.325\text{kPa}1mol1\text{mol} 气体所占的体积约为 24.466L24.466\text{L}

  • sinx=xx33!+x55!x77!+\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots

  • cosx=1x22!+x44!x66!+\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots

  • nlogn=i=1+nin\log n = \displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{n}{i}

  • 100100 以内的质数

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313
22 33 55 77 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131 3737 4141
1414 1515 1616 1717 1818 1919 2020 2121 2222 2323 2424 2525
4343 4747 5353 5959 6161 6767 7171 7373 7979 8383 8989 9797

常见数列

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010
Fibonacci\text{Fibonacci} 11 22 33 55 88 1313 2121 3434 5555 8989
Catalan\text{Catalan} 11 22 55 1414 4242 132132 429429 14301430 48624862 1679616796
?\text{?}
?\text{?}
  • 等差数列通项公式:an=a1+(n1)d=SnSn1(n2)a_n=a_1+(n-1)d=S_n-S_{n-1}(n\geq 2), 其中 dd 为公差

  • 等差数列前 nn 项和:Sn=n(a1+an)2=na1+dn(n1)2S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{dn(n-1)}{2}

  • 等比数列通项公式:an=a1qn1=SnSn1(n2)a_n=a_1q^{n-1}=S_n-S_{n-1}(n\geq 2), 其中 qq 为公比

  • 等比数列前 nn 项和:Sn=a1(1qn)1q=a1anq1q(q1)S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_n q}{1-q}(q\neq 1)

  • 自然数幂求和公式:i=1ni=n(n+1)2\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}

    i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

    i=1ni3=[n(n+1)2]2\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2

    i=1ni4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n1)30\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}

    1+3+5++(2n1)=n21+3+5+\dots+(2n-1)=n^2

  • Fibonacci\text{Fibonacci} 通项公式:f(x)=55[(1+52)x(152)x]f(x)=\frac{\sqrt{5}}{5}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^x-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^x]

精妙的解题方法

常见抽象函数及其模型

  • f(x±y)=f(x)±f(y)    f(x)=kx (k0)f(x\pm y)=f(x)\pm f(y) \implies f(x)=kx\ (k\neq 0)

    • f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) 证单调性/奇偶性:

      x1,x2R, x1<x2, f(x1)f(x2)=f(x1x2+x2)f(x2)=f(x1x2)\forall x_1,x_2 \in \R,\ x_1<x_2,\ f(x_1)-f(x_2)=f(x_1-x_2+x_2)-f(x_2)=f(x_1-x_2)

  • f(xy)=f(x)+f(y)  f(xy)=f(x)f(y)    f(x)=logax (a>0  a1)f(xy)=f(x)+f(y)\ 或 \ f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y) \implies f(x)=\log_a x\ (a>0\ 且 \ a\neq 1)

    • f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y) 证单调性/奇偶性:

      f(1)=f(1)+f(1)=0  f(1)=f(1)+(1)=0f(1)=f(1)+f(1)=0\ 且\ f(-1)=f(-1)+(1)=0

      f(1)=f(x)+f(1x)=0  f(1)=f(x)+f(1x)=0f(1)=f(x)+f(\frac{1}{x})=0\ 且\ f(-1)=f(-x)+f(\frac{1}{x})=0

      f(x)=f(x)\therefore f(x)=f(-x)

  • f(xy)=f(x)f(y)  f(xy)=f(x)f(y)    f(x)=xaf(xy)=f(x)f(y)\ 或 \ f(\frac{x}{y})=\frac{f(x)}{f(y)} \implies f(x)=x^a

  • f(x+y)=f(x)f(y)  f(xy)=f(x)f(y)    f(x)=ax (a>0  a1)f(x+y)=f(x)f(y)\ 或 \ f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)} \implies f(x)=a^x\ (a>0\ 且 \ a\neq 1)

  • f(x±y)=f(x)±f(y)1f(x)f(y)    f(x)=tanx (xkπ+π2,kZ)f(x\pm y)=\frac{f(x)\pm f(y)}{1\mp f(x)f(y)} \implies f(x)=\tan x\ (x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\Z)

求值域

  • 分离常数 ax+bcx+d=ac+acbdc2(x+dc)\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{ac-bd}{c^2(x+\frac{d}{c})}

    例:求 f(x)=x2x1x2+x+1f(x)=\frac{x^2-x-1}{x^2+x+1} 值域,先求出定义域 R\R

    x2x1x2+x+1=12x+2x2+x+1, \frac{x^2-x-1}{x^2+x+1}=1-\frac{2x+2}{x^2+x+1},\text{ }g(x)=x2+x+12x+2,f(x)=11g(x)g(x)=\frac{x^2+x+1}{2x+2}, f(x)=1-\frac{1}{g(x)}

    g(x)=x2+x+12x+2=x2+12x+2=x+12+12(x+1)12g(x)=\frac{x^2+x+1}{2x+2}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x+2}=\frac{x+1}{2}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2}

    xx 分类讨论后使用基本不等式

    {x+10,x1,g(x)21412=12x+1=0,x=1,g(x)f(x)=1x+10,x1,g(x)32\begin{cases} x+1\ge 0, x\ge -1, g(x)\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\ x+1=0, x=-1, g(x) 无意义,f(x)=1 \\ x+1\le 0, x\le -1, g(x)\leq -\frac{3}{2} \end{cases}

    综上所述, g(x)(,32][12,)g(x)\in (-\infty,-\frac{3}{2}]\bigcup[\frac{1}{2},\infty), 1g(x)[23,0)(0,2]\frac{1}{g(x)}\in[-\frac{2}{3},0)\bigcup(0,2]

    $f(x)\in[-1,\frac{5}{3}], $ 取最值时 x=2 or x=0x=-2 \ \text{or } x=0

  • 三角换元( 形如 y=ax+b+cxdy=\sqrt{ax+b}+\sqrt{cx-d} 求最值 )

    例:求 y=x4+183xy=\sqrt{x-4}+\sqrt{18-3x} 的值域,先求出定义域 [4,6][4,6]

    x=4+sin2θx=4+\sin^2\theta 且其中 θ[0,π2]\theta\in[0,\frac{\pi}{2}],除去根号可得值域 [2,22][\sqrt{2},2\sqrt{2}]

  • 数形结合( 将军饮马,圆,斜率... )

    例 1:求 f(x)=(x1)2+4+(x2)2+9f(x)=\sqrt{(x-1)^2+4}+\sqrt{(x-2)^2+9} 最小值?

    转化为求 (x,0)(1,2)(2,3)(x,0)(1,2)(2,3) 之间的距离 答案 26\sqrt{26}

    例 2:f(x)=sinx132cosx2sinx (x[0,2π])f(x)=\frac{\sin x-1}{\sqrt{3-2\cos x-2\sin x}}\ (x\in[0,2\pi]) 的最小值 ?

     sin2x+cos2x=1\because\ \sin^2x+\cos^2x=1\\

    f(x)=sinx1sin2x2sinx+1+cos2x2cosx+1=sinx1(sinx1)2+(cosx1)2=1sinx(1sinx)2+(1cosx)2=11+(1cosx1sinx)2\therefore \begin{aligned}f(x)&=\frac{\sin x-1}{\sqrt{\sin^2x-2\sin x+1+\cos^2x-2\cos x+1}}=\frac{\sin x-1}{\sqrt{(\sin x-1)^2+(\cos x-1)^2}}\\&=-\frac{1-\sin x}{\sqrt{(1-\sin x)^2+(1-\cos x)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{1-\cos x}{1-\sin x})^2}}\end{aligned}

    sinx1\sin x\neq 1 时,令 g(x)=(1cosx1sinx)2,f(x)=11+g(x)g(x)=(\frac{1-\cos x}{1-\sin x})^2,f(x)=-\frac{1}{\sqrt{1+g(x)}}\\ 显然,g(x)g(x) 的含义是点 (1,1)(1,1) 与单位圆上的点 (sinx,cosx)(\sin x,\cos x) 的连线的斜率的平方。

    注意到,g(x)0g(x)\geq 0,所以 f(x)[1,0]f(x)\in [-1,0]

拉格朗日乘数法

偏导数 - 多元函数的导数

当一个函数有多个自变量时,他们共同影响因变量,我们称之为多元函数。比如 z=f(x,y)=sin2x+cos2yz=f(x,y)=\sin^2x+\cos^2y

根据导数的定义 limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} 可以类推出偏导数的定义,即

[\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\ \ \ \ \ (1) \ \displaystyle\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}\ \ \ \ \ (2)]

其中 (1)(1) 式表示函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x,y)(x,y) 处对 xx 的偏导数,(2)(2) 式表示函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x,y)(x,y) 处对 yy 的偏导数

我们想求 ffxx 的偏导数。如果 ff 是一个一元函数,这个导数可以记作 dydx\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

类似地,当 ff 是多元函数时,这个偏导数就记作 fx\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}

求偏导时,把一个变量当作 xx,其他的变量当作常数,再求导数

E.g.1    f(x,y)=x+y    fx=1+0=1    fy=0+1=1\displaystyle E.g.1\ \ \ \ f(x,y)=x+y\ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial x}=1+0=1\ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial y}=0+1=1

E.g.2    f(x,y)=sin2x+cos2y    fx=(sin2x)+0=2cosxsinx=sin2x\displaystyle E.g.2\ \ \ \ f(x,y)=\sin^2x+\cos^2y\ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial x}=(\sin^2x)'+0=2\cos x\sin x=\sin 2x

拉格朗日乘数法

对于一个函数 f(x,y)f(x,y) 在附加条件 φ(x,y)=0\varphi(x,y)=0 下的极值,可以构造三元函数

[L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)]

求解下面这个方程组,代回原方程就是他的极值点

[\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x}=0 \ \ \ \ \ \ \displaystyle\frac{\partial L}{\partial y}=0 \ \ \ \ \ \ \displaystyle\varphi(x,y)=0]

E.g.1E.g.1 已知 x+y=1x+y=1,求 x2+y2x^2+y^2 的最值

常规方法:x2+y2=x2+(1x)2=2x22x+112x^2+y^2=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1\geq\frac{1}{2}

拉格朗日乘数法:构造 φ(x,y)=x+y1     f(x,y)=x2+y2\varphi(x,y)=x+y-1\ \ \ \ \ f(x,y)=x^2+y^2

[L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)=x2+y2+\lambda(x+y)]

解方程

[\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0 \ \ \ \ \ \ \displaystyle\frac{\partial L}{\partial y}=2y+\lambda=0 \ \ \ \ \ \ \displaystyle\varphi(x,y)=x+y-1=0]

得到

[x=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ y=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \lambda=-1]

最小值即 f(12,12)=12\displaystyle f(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{1}{2}

E.g.2E.g.2 已知 a,b,ca,b,c 均为正实数,a2+b2+4c2=1a^2+b^2+4c^2=1,则 ab+2ac+32bcab+2ac+3\sqrt{2}bc 的最大值为 ?

[\varphi(a,b,c)=a2+b2+4c^2-1\ \ \ \ \ f(a,b,c)=ab+2ac+3\sqrt{2}bc]

[L(a,b,c,\lambda)=ab+2ac+3\sqrt{2}bc+\lambda(a2+b2+4c^2-1)]

[\frac{\partial L}{\partial a}=b+2c+2a\lambda=0]

[\frac{\partial L}{\partial b}=a+3\sqrt{2}c+2b\lambda=0]

[\frac{\partial L}{\partial c}=2a+3\sqrt{2}b+8c\lambda=0]

[\varphi(a,b,c)=a2+b2+4c^2-1=0]

解得

[a=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\ \ \ \ b=\frac{2}{\sqrt{10}}\ \ \ \ c=\frac{1}{\sqrt{10}}\ \ \ \lambda=-\sqrt{2}]

代回得到

[f_{\max}=\sqrt{2}]

Exercise.1\mathrm{Exercise}.11212 分为三个正整数 x,y,zx,y,z 之和,使得 x3y2zx^3y^2z 最大( 答案:x=6,y=4,z=2x=6,y=4,z=2 时取最大值 69126912

Exercise.2\mathrm{Exercise}.2 已知过定点 (8,1)(8,1) 的直线 ll 分别交 xx 轴正半轴于点 AAyy 轴负半轴于点 BB,求 AB|AB| 的最小值

提示:设 A(a,0),B(0,b)A(a,0),B(0,b) 代入得到 8a+1b=1,AB2=a2+b2     \frac{8}{a}+\frac{1}{b}=1,|AB|^2=a^2+b^2\ \ \ \ \ \text{} 答案:a=10,b=5,ABmin=55a=10,b=5,|AB|_{\min}=5\sqrt{5}

Exercise.3\mathrm{Exercise}.3 已知 x2+y2+xy=1x^2+y^2+xy=1,求 x+y+xyx+y+xy 的最小值

注意此处取等条件并非 x=yx=y,答案是 54-\frac{5}{4},取等条件为 {x+y=12xy=34\begin{cases} x+y=-\frac{1}{2} \\ xy=-\frac{3}{4} \end{cases}

泰勒展开在比较大小中的应用

常见的几个式子:

[e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}\ \ \ (x\geq 0)]

[e^x\leq 1+x+\frac{x^2}{2}\ \ \ (x\leq 0)]

[e^x\geq 1+x+\frac{x2}{2}+\frac{x3}{6}]

[\ln(x+1)\geq x-\frac{x^2}{2}\ \ \ (x\geq 0)]

[\sin x\geq x-\frac{x^3}{6}\ \ \ (x\geq 0)]

[\sin x\leq x-\frac{x^3}{6}\ \ \ (x\leq 0)]

[\cos x\geq 1-\frac{x^2}{2}]

例题:( 2022 全国甲卷选择压轴 )已知 a=3132,b=cos14,c=4sin14\displaystyle a=\frac{31}{32},b=\cos\frac{1}{4},c=4\sin\frac{1}{4},比较 a,b,ca,b,c 的大小

cosx1x22\cos x\geq 1-\frac{x^2}{2}b>1(14)22=3132=ab>1-\frac{(\frac{1}{4})^2}{2}=\frac{31}{32}=a

sinxxx36   (x0)\sin x\geq x-\frac{x^3}{6}\ \ \ (x\geq 0)c>9596>ac>\frac{95}{96}>a

构造函数:取 x=14x=\frac{1}{4},则 b=cosx,c=sinxxb=\cos x,c=\frac{\sin x}{x},设 x=14x=\frac{1}{4}cosx<sinxx\cos x<\frac{\sin x}{x},构造 f(x)=sinxxcosx  (x>0)f(x)=\sin x-x\cos x\ \ (x>0)

f(x)=xsinx>0  (x(0,14])f'(x)=x\sin x>0\ \ (x\in(0,\frac{1}{4}])c>bc>b 成立,答案为 c>b>ac>b>a


  • 强制开根号:a±b=a+a2b2±aa2b2\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}

  • 手算根号:首先有一个恒等式

[\lim_{n\to +\infty}\frac{\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}2n\ 2k\end{pmatrix}xk([\sqrt{x}]){2n-2k}}{\sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix}2n\ 2k+1\end{pmatrix}xk([\sqrt{x}]){2n-2k-1}}=\sqrt{x}]

可以变形为

[\lim_{n\to +\infty}(\sqrt{x}-[\sqrt{x}])^{2n}=0]

可以令 (x[x])2n=ϵ(\sqrt{x}-[\sqrt{x}])^{2n}=\epsilon,则 x=AϵB\sqrt{x}=\frac{A-\epsilon}{B}A,BA,B 为二项式展开后有理项正系数和无理项正系数。

注意到 ϵB\frac{\epsilon}{B} 很小,可忽略,因此我们就得到了 x\sqrt{x} 的分数近似

实际操作:以 52.236067977\sqrt{5}\approx 2.236067977 举例,令 t=52t=\sqrt{5}-2

nn 11 22 33 44 66 88
tnt^n 2+5-2+\sqrt{5} 9459-4\sqrt{5} 38+175-38+17\sqrt{5} 161725161-72\sqrt{5} 2889129252889-1292\sqrt{5} 5184123184551841-23184\sqrt{5}
21=2\frac{2}{1}=2 94=2.25\frac{9}{4}=2.25 38172.235\frac{38}{17}\approx 2.235 161722.2361\frac{161}{72}\approx 2.2361 288912922.2360681\frac{2889}{1292}\approx 2.2360681 51841231842.236067978\frac{51841}{23184}\approx 2.236067978
  • 二维空间中欧几里得距离:AB=(x2x1)2+(y2y1)2|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

  • 三维空间中欧几里得距离:AB=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

  • 二维空间中曼哈顿距离:AB=x1x2+y1y2|AB|=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|

  • 二维空间中切比雪夫距离:d(A,B)=max(x1x2,y1y2)d(A,B)=\mathrm{max}(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)

  • 欧拉公式: eix=cosx+isinxe^{ix}=\cos x+i\sin x, 当 x=πx=\pi 时满足 eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0

    推导:eix=cos(x)+isin(x)=cosxisinxe^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos x - i\sin x,两式相加移项得 cosx=eix+eix2\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

  • 二项式定理:(a+b)n=i=0nCnianibi(a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}C^{i}_{n}a^{n-i}b^i

  • sin10°sin30°sin50°sin70°=12cos20°cos40°cos80°=2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°=2sin40°cos40°cos80°8sin20°=sin160°16sin20°=116\sin10\degree\sin30\degree\sin50\degree\sin70\degree=\frac{1}{2}\cos20\degree\cos40\degree\cos80\degree=\frac{2\sin20\degree\cos20\degree\cos40\degree\cos80\degree}{4\sin20\degree}=\frac{2\sin40\degree\cos40\degree\cos80\degree}{8\sin20\degree}=\frac{\sin160\degree}{16\sin20\degree}=\frac{1}{16}

  • y=Asin(ωx+φ)y=A\sin(\omega x+\varphi)y=Acos(ωx+φ)y=A\cos(\omega x+\varphi) 的单调区间:类似 \set{x|-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z} 求解可得

  • Fibonacci\text{Fibonacci} 二平方恒等式:(a12+a22)(b12+b22)=(a1b1a2b2)2+(a1b2+a2b1)2(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=(a_1b_1-a_2b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2,同理还有 Euler\text{Euler} 四平方恒等式

  • (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),a,b,c,dR(ac+bd)^2\leq(a^2+b^2)(c^2+d^2),a,b,c,d\in\R

  • 已知直线 AB,ACAB,AC 的解析式,要求它们的角平分线 ATAT 的解析式有:

[\frac{k_{AT}-k_{AB}}{1+k_{AT}\cdot k_{AB}}=\frac{k_{AC}-k_{AT}}{1+k_{AC}\cdot k_{AT}}]

化简得:

[k_{AT}=\frac{k_{AB}\cdot k_{AC}-1\pm \sqrt{k_{AB}^2\cdot k_{AC}2+k_{AB}2+k_{AC}^2+1}}{k_{AB}+k_{AC}}]

  • 已知 ΔABC\Delta ABC 和点 MM 满足 MB+32MA+32MC=0\overrightarrow{MB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{MA}+\frac{3}{2}\overrightarrow{MC}=\mathbf{0}DDABAB 中点,则 MDBM= ?\frac{|\overrightarrow{MD}|}{|\overrightarrow{BM}|}=\ ?

    可以将所有点放到一条直线上,让 A,CA,C 两点重合,得出 MB=3MAMB=3MA,显然 MDBM=13\frac{MD}{BM}=\frac{1}{3}

  • 已知 ab,b0,tR\mathbf{a}\neq\mathbf{b},|\mathbf{b}|\neq 0,\forall t\in\Ratbab|\mathbf{a}-t\mathbf{b}|\geq|\mathbf{a}-\mathbf{b}| 恒成立

    (atb)2(ab)2    b2t22abt+2abb20\sqrt{(\mathbf{a}-t\mathbf{b})^2}\geq\sqrt{(\mathbf{a}-\mathbf{b})^2}\implies\mathbf{b}^2 t^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}t+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{b}^2\geq 0

    Δ=4(ab)24b2(2abb2)0    b(ab)=0,b(ab)\Delta=4(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2-4\mathbf{b}^2(2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{b}^2)\leq 0\implies\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b})=0,\mathbf{b}\perp(\mathbf{a}-\mathbf{b})

    也可使用几何法,转化为垂线段最短

  • 小球称重问题

    1. NN 个小球,已知有 11 个小球比其他小球偏重,使用天平,最少要多少次才能确保找到那个小球?(题干改成「偏轻」也可以)
    2. NN 个小球,已知有 11 个小球和其他小球质量不同,使用天平,最少要多少次才能确保找到那个质量不同的小球(并知道它比其他小球轻还是重)?
    3. NN 个小球,已知有 11 个小球和其他小球质量不同,使用天平,最少要多少次才能确保找到那个质量不同的小球(无需知道它的轻重)?

    答案分别为 log3N,log3(2N+3),log3(2N+1),\lceil\log_3 N\rceil,\lceil\log_3(2N+3)\rceil,\lceil\log_3(2N+1)\rceil,

应试要求

  • 方程两边同除一个数要写明这个数 0\neq 0,求 f(x)0f(x)\neq 0 的解集用 "且" 连接,如求 x22x30x^2-2x-3\neq 0 的解集     x3\implies x\neq 3x1x\neq -1

  • 保留 nn 位有效数字:从左到右读到第一个不为 00 的数位后向后继续读 (n1)(n-1) 位并四舍五入

    如对 0.01680.0168 保留 22 位有效数字:0.0170.017

  • 集合:考虑空集,条件注意是否有写 “不充分” “不必要” 等字眼

  • 不等式:求 (ax+by)min(ax+by)_{min} 且已知 nx+my=k,x>0,y>0\frac{n}{x}+\frac{m}{y}=k,x>0,y>0,则 ax+by=(ax+by)(nx+my)kax+by=\frac{(ax+by)(\frac{n}{x}+\frac{m}{y})}{k},再用基本不等式化简

    写明取等条件,例如 (x=,y=)(x=\dots,y=\dots)

  • 函数:通过奇偶性求函数解析式需 检验;写出单调区间时用 ,, 不用 \bigcup

    比如 "y=sinxy=\sin x 在第二象限为减函数 " 是错误的,因为第二象限相当于很多个区间取并,即 (  )(  )...(  )(\ \ )\bigcup(\ \ )\bigcup...\bigcup(\ \ ),而表示单调性不能用 \bigcup

    求出函数表达式需写定义域,并且必须化至最简

  • 二分法精确度:f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0baϵb-a\le \epsilon

  • 第 一/二/三/四 象限均不包括 坐标轴

  • 使用 Asinα+Bcosα=A2+B2sin(α+arctanBA)A\sin\alpha+B\cos\alpha=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\alpha+\arctan{\frac{B}{A}}) 需写详细过程,不可跳步

    BA<0\frac{B}{A}<0 时,需检验 φ\varphi 位于第二象限还是第四象限

  • 作图题:列表描点,曲线自然,直尺

  • 应用题:求出函数表达式需写定义域,分类讨论取最大值或最小值时需写明 A>B A\because A>B \ \therefore 选A

    f(x+1)=x2f(\sqrt{x}+1)=x-2,求 f(x)=x22x1  x[1,+)f(x)=x^2-2x-1\ 且\ x\in [1,+\infty)

  • 向量:t=t2|\mathbf{t}|=\sqrt{\mathbf{t}^2};注意向量共线( 正向 or 反向 )的情况;回答时写明 大小+方向;几何法不行 \to 建系;注意与三角函数结合( 三角换元,出现动点注意坐标用三角函数表示... );利用初中技巧( 倍长中线 )

    若已知 a=(1,2)\mathbf{a}=(1,2),则任意平移 a\mathbf{a} 得到 b\mathbf{b},因为模长不变,所以 b=(1,2)\mathbf{b}=(1,2)

  • 解三角形:写明 "在...三角形中""由正 / 余弦定理得";已知 ΔABC\Delta ABC 先写 A(0,π)A\in(0,\pi),再写 A=...°A=...\degree

    注意:已知 sinx=siny\sin x=\sin y,则有两种情况:x=yx=yx=πyx=\pi -y

  • 立体几何:在棱柱( 包括长方体,正方体等 )中证明时,只能使用直棱柱的侧棱互相平行且相等这一性质,其余均需证明

    在空间中,不能用两组对边分别相等证明平行四边形